三角関数による置換積分：ルートを含む積分の処理

被積分関数にルート $\sqrt{a^2-x^2}$ や $\sqrt{x^2+a^2}$ のような無理式が含まれる場合、そのまま計算するのは難しい。こうしたとき、三角関数を使った置換積分が強力な武器になる。三角関数の恒等式を利用してルートを消去し、扱いやすい形に変換するのがこの手法の核心だ。

$\sqrt{a^2-x^2}$ 型の置換

$\sqrt{a^2-x^2}$ を含む積分では $x=a\sin \theta$ と置換する。このとき $dx=a\cos \theta d\theta$ となり、ルート部分は次のように変形できる。

$$\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2{\sin }^2\theta }=a\cos \theta$$

恒等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ を利用して、ルートが三角関数の単純な式に化ける。

具体例として $\int \sqrt{1-x^2}dx$ を計算してみよう。$x=\sin \theta$ と置くと $dx=\cos \theta d\theta$ だから、

$$\int \sqrt{1-{\sin }^2\theta }\cos \theta d\theta =\int {\cos }^2\theta d\theta$$

となる。${\cos }^2\theta$ の積分には半角公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$ を使えばよい。

$$\int {\cos }^2\theta d\theta =\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}+C$$

最後に $\theta =\arcsin x$ で元の変数に戻すと、

$$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{\arcsin x}{2}+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$$

が得られる。この結果は単位円の面積計算にも直結しており、$x=0$ から $x=1$ まで定積分すると $\frac{\pi }{4}$、つまり単位円の面積 $\pi$ の 4 分の 1 に一致する。

$\sqrt{x^2+a^2}$ 型の置換

$\sqrt{x^2+a^2}$ を含む場合は $x=a\tan \theta$ と置換する。$dx=a{\sec }^2\theta d\theta$ で、ルート部分は

$$\sqrt{a^2{\tan }^2\theta +a^2}=a\sqrt{{\tan }^2\theta +1}=a\sec \theta$$

と変形できる。恒等式 $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$ がここで効いている。

例として $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ を計算する。$x=\tan \theta$ と置くと、

$$\int \frac{{\sec }^2\theta }{\sec \theta }d\theta =\int \sec \theta d\theta =\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C$$

元に戻すと $\tan \theta =x$、$\sec \theta =\sqrt{x^2+1}$ だから、

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\ln |x+\sqrt{x^2+1}|+C$$

となる。

$\sqrt{x^2-a^2}$ 型の置換

$\sqrt{x^2-a^2}$（ただし $|x|\ge a$）を含む場合は $x=a\sec \theta$ と置く。$dx=a\sec \theta \tan \theta d\theta$ で、

$$\sqrt{a^2{\sec }^2\theta -a^2}=a\sqrt{{\sec }^2\theta -1}=a\tan \theta$$

と変形される。恒等式 ${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$ を使っている。

定積分への適用と積分区間の変換

定積分で三角関数置換を使うときは、積分区間も $\theta$ に変換する必要がある。元の変数に戻す手間が省けるため、定積分ではむしろ計算が楽になることが多い。

${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ を求めてみよう。$x=\sin \theta$ と置くと、$x=0$ のとき $\theta =0$、$x=1$ のとき $\theta =\frac{\pi }{2}$ だから、

$${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta ={\left[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{4}$$

これは半径 1 の四分円の面積にほかならない。三角関数置換は幾何的な意味とも深く結びついている。

置換を選ぶ判断基準

どの置換を使うかは、ルートの中身の符号パターンで機械的に決まる。

迷ったときはこの表を参照すれば、ルートの中身を見るだけで正しい置換が選べる。三角関数置換は一見トリッキーに見えるが、パターンを覚えてしまえば確実に適用できる強力なテクニックだ。