置換と行列式の定義｜符号・互換・転倒数からライプニッツの公式へ

置換は $\{1,2,\dots ,n\}$ をそれ自身へ並べ替える写像です。$n$ 次の行列式を定義するには、この言葉が要る。

行列式は、各行から成分を 1 つずつ選んで掛け、符号をつけて足し上げたものです。どの行がどの列を選ぶかの割り当てが置換で、符号はその置換から決まる。

2 次の $ad-bc$ や 3 次のサラスの方法は、この足し上げを次数ごとに書き下したものにすぎません。置換の言葉を用意すると、次数によらない 1 本の式で書ける。

置換とは

$\{1,2,\dots ,n\}$ から自分自身への全単射を $n$ 次の置換といいます。どの値もちょうど 1 回ずつ行き先に現れる、という条件がついた並べ替え。

$n$ 次の置換をすべて集めた集合を $S_n$ と書く。要素の数は $n!$ 個です。

書き方は上下 2 段に並べる形が基本になります。上の段に $1$ から $n$ を、下の段にその行き先を書く。

全単射という条件が効いています。ただの写像なら $2$ つの要素が同じ行き先へ重なれますが、置換ではそれを許さない。行列式で列が重ならないように選ぶ、という条件がここに対応する。

置換どうしは合成できる。$\sigma$ で送った先をさらに $\tau$ で送る、という操作がまた置換になります。この合成を積と呼び、$\tau \sigma$ と書く。

例：3 次の置換を書き下す

$\sigma (1)=2$、$\sigma (2)=3$、$\sigma (3)=1$ となる置換を書く。

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

上の段が行き元、下の段が行き先です。下の段には $1$、$2$、$3$ がちょうど 1 回ずつ現れる。

行き先だけを並べて $(2,3,1)$ と書く記法もあります。上の段は $1$ から順と決まっているので、省いても困らない。

巡回置換

さきほどの $\sigma$ は $1\to 2\to 3\to 1$ と一巡します。こうした置換を巡回置換と呼び、$(123)$ と書く。

括弧の中は行き先の順番です。最後の要素は先頭へ戻り、書かれていない要素は動かない。

どの置換も、共通の要素を持たない巡回置換の積に分かれます。この分け方は順番の違いを除いて一通り。

手順は単純です。$1$ から出発して行き先をたどり、$1$ へ戻ったらそこで 1 つの巡回が閉じる。まだ現れていない最小の数から、同じことを繰り返す。

$(2,4,1,3,6,5)$ を行き先の並びと見ると、$1\to 2\to 4\to 3\to 1$ と $5\to 6\to 5$ の 2 つに分かれる。$(1243)(56)$ と書けます。

互換

2 つの要素だけを入れ替え、残りを動かさない置換を互換といいます。長さ $2$ の巡回置換にあたる。

$(13)$ なら $1$ と $3$ が入れ替わり、$2$ はその場に残る。

互換は置換のいちばん単純な部品です。並べ替えを 1 手ずつに分けたときの、その 1 手にあたる。

隣り合う 2 つだけを入れ替える互換を、隣接互換といいます。これだけを使ってもどの置換にも届く。カードを隣どうし交換しながら並べ替える手順が、そのまま隣接互換の列。

どの置換も互換の積になる

長さ $k$ の巡回置換は、$k-1$ 個の互換に分かれる。

$$(a_1{a}_2\cdots a_k)=(a_1{a}_k)(a_1{a}_{k-1})\cdots (a_1{a}_2)$$

どの置換も巡回置換の積に分かれるので、そこからさらに互換の積まで届きます。$(123)=(13)(12)$ がその例。

ただし分け方は一通りではありません。同じ置換を、別の互換の並びでも作れる。

偶奇は分け方によらない

分け方が違っても、使う互換の個数の偶奇は変わりません。これが符号を定義できる根拠になる。

理由は次の節の転倒数で説明できます。互換を 1 つ当てるたびに転倒数の偶奇が必ず裏返るので、行き先の並びが決まれば互換の個数の偶奇も決まる。

偶数個の互換で書ける置換を偶置換、奇数個で書けるものを奇置換といいます。恒等置換は $0$ 個なので偶置換。

同じ置換を $3$ 個の互換でも $5$ 個の互換でも書けます。$7$ 個でも書ける。増やせるのは $2$ 個単位だけで、$4$ 個にはどうしてもならない、というのがこの主張です。

偶置換と奇置換は同じ個数ずつあります。互換を 1 つ掛ける操作が両者を入れ替えるので、$n\ge 2$ ならちょうど半分ずつに分かれる。

置換の符号

偶置換に $+1$、奇置換に $-1$ を割り当てた値を符号といい、$\mathrm{sgn}(\sigma )$ と書く。

$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^m$$

$m$ は $\sigma$ を互換の積に分けたときの個数です。偶奇が決まっているので、$m$ が変わっても値は動かない。

互換そのものの符号は $-1$ になります。$1$ 個の互換で書けるので、奇置換の代表。

転倒数で符号を数える

$i<j$ なのに $\sigma (i)>\sigma (j)$ となる組を転倒といいます。その個数が転倒数で、$N(\sigma )$ と書く。

$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{N(\sigma )}$$

上下 2 段に線を引くと、転倒は線の交差にあたります。交差の本数を数えるだけで符号が出る。

隣接互換を 1 つ当てると、転倒数はちょうど $1$ だけ増えるか減ります。入れ替えた 2 つの大小関係だけが変わり、ほかの組は順序を保つからです。偶奇は必ず裏返る。

隣り合わない互換でも同じ結論になります。隣接互換の奇数個の積として書けるので、やはり偶奇が裏返る。互換の個数の偶奇が分け方によらないのは、ここから従います。

例：転倒数から符号を出す

行き先を並べた $(3,1,4,2)$ で数える。

前が後ろより大きい組を拾うと $(3,1)$、$(3,2)$、$(4,2)$ の 3 つです。転倒数は $3$。

奇数なので $\mathrm{sgn}(\sigma )=-1$ となり、この置換は奇置換になります。

例：3 次の置換をすべて並べる

$S_3$ の要素は $3!=6$ 個です。恒等置換、巡回置換 2 つ、互換 3 つに分かれる。

偶置換が 3 つ、奇置換が 3 つで同数になりました。この半々の分かれ方は、$n\ge 2$ ならどの $n$ でも成り立つ。

巡回の個数から符号が出る

共通の要素を持たない巡回置換に分けたとき、その個数を $p$ とします。動かない要素も長さ $1$ の巡回として数える。

$$\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{n-p}$$

長さ $k$ の巡回が $k-1$ 個の互換を要するので、全体で $n-p$ 個になります。巡回の個数を数えるだけで符号が出る。

$\sigma =(1356)(2478)$ なら $n=8$、$p=2$ です。$(-1{)}^6=+1$ で偶置換。

符号は積を保つ

2 つの置換をつないだものの符号は、それぞれの符号の積になる。

$$\mathrm{sgn}(\sigma \tau )=\mathrm{sgn}(\sigma )\mathrm{sgn}(\tau )$$

互換の個数が足し算になるので、$-1$ の指数も足し算になります。符号は $S_n$ から $\{+1,-1\}$ への準同型。

逆置換の符号はもとと同じです。$\sigma {\sigma }^{-1}=e$ の符号が $+1$ なので、両者が打ち消し合う形にはならない。

準同型であることは、行列式の積の公式にそのまま効いてきます。$\det (AB)=\det A\det B$ の証明では、置換の合成と符号の積が対応する構造が使われる。

符号は $+1$ と $-1$ の 2 値しかとりません。置換の細かい中身を捨てて、偶奇という 1 ビットだけをとり出した量。この粗さが、かえって扱いやすさを生む。

行列式の定義

$n$ 次正方行列 $A=(a_{ij})$ の行列式を、置換で書く。

$$\det A=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$$

ライプニッツの公式と呼ばれる形です。各行から成分を 1 つずつ、列が重ならないように選んで掛け、符号をつけて足し上げる。

どの行がどの列を選ぶかの割り当てが $\sigma$ そのものになります。選び方の全パターンが $S_n$ と一対一に対応する。

符号がついている点が肝心です。これがないと、$2$ つの列を入れ替えたときに値が変わらなくなり、面積や体積の向きを表せない。列を入れ替えると置換に互換が 1 つ加わり、符号が全項で裏返る。

対角成分だけの積を足すのでは足りません。それでは列の入れ替えに反応せず、正則かどうかの判定にも使えない。$n!$ 個すべての選び方を、符号つきで足し上げる形になる。

例：2 次で確かめる

$S_2$ は恒等置換と互換 $(12)$ の 2 つだけ。

恒等置換の項は $a_{11}{a}_{22}$ で符号が $+1$、互換の項は $a_{12}{a}_{21}$ で符号が $-1$ です。

$$\det \left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

見なれた $ad-bc$ が、置換の符号つき和として出てきました。

例：3 次で確かめる

$S_3$ の 6 つに対応して、項も 6 つ並ぶ。

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}$$

前半の 3 項が偶置換、後半の 3 項が奇置換にあたります。偶奇が 3 つずつという先ほどの数え上げと合っている。

符号を手で決める必要はありません。置換を書き出せば、符号は転倒数か巡回の個数から自動で決まる。

項の数は階乗で増える

$S_n$ の要素数が、そのまま項の数になる。

$n=5$ で $120$ 項、$n=10$ では $3628800$ 項です。定義どおりに足し上げる計算は、小さい $n$ でしか実用にならない。

実際の計算では、基本変形で三角形の形に崩す手が使われます。この公式は値を出すためというより、性質を証明するための足場。

$0$ が多い行列なら話は別です。三角行列では、対角成分をたどる置換以外の項がどこかで $0$ を拾うので、残るのは対角成分の積 1 項だけになる。定義から直接読める。

行や列に $0$ が並んでいるときも、生き残る項が絞られる。定義式は、そうした構造を見抜くときに効いてきます。

転置しても値が変わらない

$\sigma$ で書いた項と ${\sigma }^{-1}$ で書いた項は、掛ける成分の顔ぶれが同じになる。行と列の役割を入れ替えただけだからです。

符号も $\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})=\mathrm{sgn}(\sigma )$ で変わりません。したがって和の全体が一致する。

$$\det A^{\mathsf{T}}=\det A$$

行について成り立つ性質が、そのまま列についても成り立つ理由がここにあります。置換の言葉で書いたおかげで、証明が数行に収まる。

$\sigma$ が $S_n$ 全体を走るとき、${\sigma }^{-1}$ もまた $S_n$ 全体を走ります。和をとる範囲が変わらないので、項を並べ替えただけになる。

置換を持ち出す値打ちは、こういうところに出ます。定義が次数によらない 1 本の式になっているので、証明も次数によらずに 1 度で済む。

よくある誤り

参考文献