分母が因数分解できたら和に割る - 部分分数分解から積分まで

$\frac{1}{(x-1)(x+2)}$ をそのまま積分する公式はありません。ところが、この分数は 2 つの分数の差に書き直せます。

$$\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+2}$$

右辺の 2 項はどちらも $\frac{1}{x-a}$ の形で、$\log |x-a|$ が原始関数。分けたあとは 1 行で積分できます。

$$\int \frac{dx}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{3}\log \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C$$

分母が因数分解できる分数は、この形に分けてから積分します。部分分数分解と呼ばれる書き直しです。

通分すると戻る

分けた形が正しいかどうかは、通分すれば分かります。

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+2}& =\frac{1}{3}\cdot \frac{(x+2)-(x-1)}{(x-1)(x+2)}\\ & =\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(x-1)(x+2)}\\ & =\frac{1}{(x-1)(x+2)}\end{array}$$

分子の $x$ が消えて定数の $3$ が残り、前の $\frac{1}{3}$ と打ち消し合いました。

分解は通分の逆向きの操作です。ふだん和を 1 つの分数にまとめている手順を、逆にたどっている。

係数を決める

分けた形を先に立て、係数を未知数として求めます。

$$\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

両辺に $(x-1)(x+2)$ をかけて分母を払う。

$$1=A(x+2)+B(x-1)$$

この等式は $x$ がどんな値でも成り立ちます。だから都合のよい値を入れてよい。

$x=1$ を入れると $B(x-1)$ が消えて $1=3A$、つまり $A=\frac{1}{3}$。$x=-2$ を入れると $1=-3B$ で $B=-\frac{1}{3}$ です。

代入する値は、分母が $0$ になる $x$ を選びます。片方の項が消え、係数が 1 つずつ決まる。

係数を比べる道

代入のかわりに、両辺を展開して次数ごとに比べる手もあります。

$$1=(A+B)x+(2A-B)$$

左辺に $x$ の項はないので $A+B=0$、定数項を見て $2A-B=1$。この連立を解いても同じ答えになります。

代入のほうが速い。ただし重複した因数があるときは、代入だけでは決まらない係数が残ります。

例 1：因数が 3 つ

$$\int \frac{x+3}{(x-1)(x+1)(x-2)}dx$$

因数が 3 つなら、項も 3 つ立てます。

$$\frac{x+3}{(x-1)(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}$$

分母を払うと $x+3=A(x+1)(x-2)+B(x-1)(x-2)+C(x-1)(x+1)$。

$x=1$ を入れると $4=A\times 2\times (-1)$ で $A=-2$。$x=-1$ で $2=B\times (-2)\times (-3)$ から $B=\frac{1}{3}$。$x=2$ で $5=C\times 1\times 3$ から $C=\frac{5}{3}$。

$$\int \frac{x+3}{(x-1)(x+1)(x-2)}dx=-2\log |x-1|+\frac{1}{3}\log |x+1|+\frac{5}{3}\log |x-2|+C_0$$

積分定数を $C_0$ と書いたのは、係数の $C$ と重なるのを避けるためです。

重複する因数があるとき

$(x-1{)}^2$ のように同じ因数が重なっている場合、$\frac{A}{x-1}$ だけでは足りません。1 乗と 2 乗の両方を立てます。

$$\frac{P(x)}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$$

$n$ 乗なら 1 乗から $n$ 乗まで、$n$ 個の項が並びます^[1]。

理由は分子の次数にあります。$\frac{A}{x-1}+\frac{C}{x+1}$ を通分すると分子は 1 次までしか作れず、左辺の分子が 1 次より高いと合わせられない。

例 2：$\frac{2x+1}{(x-1{)}^2(x+1)}$

分母を払います。

$$2x+1=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$$

$x=1$ を入れると $3=2B$ で $B=\frac{3}{2}$。$x=-1$ を入れると $-1=4C$ で $C=-\frac{1}{4}$。

$A$ は代入では決まりません。$x^2$ の係数を比べます。左辺に $x^2$ の項はなく、右辺は $A+C$。

$$A+C=0\Rightarrow A=\frac{1}{4}$$

$x=0$ を入れて確かめます。右辺は $-A+B+C=-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=1$ で、左辺の $1$ と合いました。

$(x-a{)}^2$ の積分は $\log$ にならない

分けたあとの各項を積分します。$\frac{1}{x-1}$ は $\log |x-1|$ ですが、$\frac{1}{(x-1{)}^2}$ は違う形になる。

$$\int \frac{dx}{(x-1{)}^2}=\int (x-1{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-1}+C$$

$-1$ 乗だけが $\log$ になり、$-2$ 乗以下はべきの積分のまま。$\frac{1}{x^n}$ の積分で $n=1$ に穴が空いているのと同じ事情です。

例 2 の答えは次のとおり。

$$\int \frac{2x+1}{(x-1{)}^2(x+1)}dx=\frac{1}{4}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{3}{2(x-1)}+C_0$$

$\log$ の項が 2 つと、$\log$ でない項が 1 つ。重複因数がある分解では、この混ざり方になります。

分子の次数が高いときは先に割る

部分分数分解は、分子の次数が分母より低い形に対して使います。次数が同じか高いときは、先に多項式の割り算をする。

$\frac{x^3}{x^2-1}$ なら、$x^3$ を $x^2-1$ で割って商が $x$、余りが $x$ です。

$$\frac{x^3}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$$

残った $\frac{x}{x^2-1}$ の分子は 1 次で、分母の 2 次より低い。ここから分解に入ります。

例 3：$\frac{x^3}{x^2-1}$

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ と分けます。

$$\frac{x}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

分母を払うと $x=A(x+1)+B(x-1)$。$x=1$ で $1=2A$、$x=-1$ で $-1=-2B$ です。

$A=B=\frac{1}{2}$ だから、次の形になります。

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3}{x^2-1}dx& =\int \left(x+\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}\right)dx\\ & =\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\log |x-1|+\frac{1}{2}\log |x+1|+C_0\\ & =\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\log |x^2-1|+C_0\end{array}$$

割らずに分解しようとすると、$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ では分子が 1 次までしか作れず、3 次の分子に届きません。

分けた形を通分して確かめる

係数を求めたら、通分してもとの分数に戻るかを見ます。例 3 なら次のとおり。

$$\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}=\frac{(x+1)+(x-1)}{2(x-1)(x+1)}=\frac{x}{x^2-1}$$

戻りました。符号のとり違えや係数の写しまちがいは、この 1 行で見つかります。

代入で使わなかった $x$ の値を入れて、両辺の数を比べる手もあります。例 1 で $x=0$ を入れると、左辺は $\frac{3}{(-1)(1)(-2)}=\frac{3}{2}$。

右辺は $-2\times (-1)+\frac{1}{3}\times 1+\frac{5}{3}\times \left(-\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=\frac{3}{2}$ で合っています。

分母を因数分解し、因数の数だけ項を立て、分母が $0$ になる値を代入する。決まらない係数が残ったら次数ごとに比べ、最後は通分して戻るかを見ます。

出典