部分分数分解を使った積分の基本

有理関数（分数関数）の積分で、分母が因数分解できるなら部分分数分解が定石だ。複雑な分数式をシンプルな分数の和に分解し、それぞれを個別に積分する。分母の因数の形に応じた分解パターンを押さえておけば、機械的に計算を進められる。

部分分数分解の考え方

$\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ のような分数は、2 つの単純な分数の和に分解できる。

$\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

両辺に $(x - 1) (x + 2)$ を掛けると $1 = A (x + 2) + B (x - 1)$ となる。 $x = 1$ を代入すると $1 = 3 A$ より $A = \frac{1}{3}$ 、 $x = - 2$ を代入すると $1 = - 3 B$ より $B = - \frac{1}{3}$ が得られる。

$\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x + 2}$

右辺はいずれも $\frac{1}{x - a}$ の形だから、 $ln ∣ x - a ∣$ で積分できる。

$\int \frac{d x}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{3} ln ∣ x - 1∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 2∣ + C = \frac{1}{3} ln \frac{x - 1}{x + 2} + C$

部分分数分解の本質は、複雑な分数を基本分数の和に還元することにある。

$\frac{1}{x - a}$ や $\frac{1}{( x - a ) ^{n}}$ のように、積分公式が直接使える形の分数のこと。

分母が一次式の積の場合

分母が異なる一次式の積 $(x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{n})$ のとき、分解は次の形になる。

$\frac{P ( x )}{( x - a _{1} ) ( x - a _{2} ) \dots ( x - a _{n} )} = \frac{A _{1}}{x - a _{1}} + \frac{A _{2}}{x - a _{2}} + \dots + \frac{A _{n}}{x - a _{n}}$

各係数は $x = a_{k}$ を代入する「ヘヴィサイドの目隠し法」で素早く求まる。 $A_{k}$ を求めるには、元の分数で $(x - a_{k})$ を隠して $x = a_{k}$ を代入すればよい。

例として $\int \frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )} d x$ を考えよう。分解すると、

$x = 1$ を代入： $A = \frac{4}{( 2 ) ( - 1 )} = - 2$

$x = - 1$ を代入： $B = \frac{2}{( - 2 ) ( - 3 )} = \frac{1}{3}$

$x = 2$ を代入： $C = \frac{5}{( 1 ) ( 3 )} = \frac{5}{3}$

よって積分は

$\int \frac{x + 3}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 )} d x = - 2 ln ∣ x - 1∣ + \frac{1}{3} ln ∣ x + 1∣ + \frac{5}{3} ln ∣ x - 2∣ + C$

となる。

分母に重複する因数がある場合

$(x - a)^{n}$ のように同じ因数が重複するときは、1 乗から $n$ 乗まですべての項を立てる必要がある。

$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{2} ( x - b )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}} + \frac{C}{x - b}$

具体例として $\int \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 )} d x$ を計算する。

$\frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{( x - 1 ) ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

両辺に $(x - 1)^{2} (x + 1)$ を掛けて展開し、係数を比較すると $A = - \frac{1}{4}$ 、 $B = \frac{3}{2}$ 、 $C = \frac{1}{4}$ が得られる。

$\int \frac{2 x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 1 )} d x = - \frac{1}{4} ln ∣ x - 1∣ - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{4} ln ∣ x + 1∣ + C$

$\frac{B}{( x - a ) ^{2}}$ の積分が $ln$ ではなく $- \frac{B}{x - a}$ になる点に注意が必要だ。一般に $\int \frac{d x}{( x - a ) ^{n}} = \frac{- 1}{( n - 1 ) ( x - a ) ^{n - 1}} + C$ （ $n \geq 2$ ）である。

分母に既約二次式がある場合

$x^{2} + b x + c$ が実数の範囲で因数分解できない（判別式が負の）場合、分子には一次式 $A x + B$ を置く。

$\frac{P ( x )}{( x ^{2} + 1 ) ( x - 2 )} = \frac{A x + B}{x ^{2} + 1} + \frac{C}{x - 2}$

$\frac{A x + B}{x ^{2} + 1}$ の積分は 2 つに分ける。 $\frac{A x}{x ^{2} + 1}$ は $\frac{A}{2} ln (x^{2} + 1)$ に、 $\frac{B}{x ^{2} + 1}$ は $B arctan x$ になる。

一次式の因数

$\frac{A}{x - a}$ → $A ln ∣ x - a ∣ + C$

既約二次式の因数

$\frac{A x + B}{x ^{2} + p x + q}$ → 対数と逆正接関数の組み合わせ

真分数への変換

部分分数分解は分子の次数が分母の次数より低い「真分数」に対して行う。分子の次数が分母以上のときは、まず多項式の割り算で商と余りに分ける。

たとえば $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1}$ は、 $x^{3} \div (x^{2} - 1) = x \dots x$ なので

$\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 1} = x + \frac{x}{x ^{2} - 1}$

と変形してから、 $\frac{x}{x ^{2} - 1} = \frac{x}{( x - 1 ) ( x + 1 )}$ を部分分数分解すればよい。

分母が一次式の積

各因数に対して $\frac{A}{x - a}$ を立てる。ヘヴィサイドの目隠し法で係数が素早く求まる。

分母に重複因数あり

$(x - a)^{n}$ に対して 1 乗から $n$ 乗まですべて立てる。 $(x - a)^{2}$ 以上の項は対数でなくべき関数で積分される。

分母に既約二次式あり

$x^{2} + b x + c$ に対して分子を $A x + B$ と置く。積分結果は対数と逆正接関数の組み合わせになる。

部分分数分解は有理関数の積分における万能ツールであり、分母を因数分解さえできれば、あとは定型的な手順で必ず積分が実行できる。この確実性こそが部分分数分解の最大の強みといえる。