ケーラー微分と微分加群

ケーラー微分（Kähler differentials）は、環準同型の「微分」を代数的に定式化したものである。代数幾何学における接空間や滑らかさの概念と密接に関係する。

定義

$A\to B$ を環準同型とする。ケーラー微分加群 ${\Omega }_{B/A}$（または ${\Omega }_{B/A}^1$）は、次の普遍性で特徴づけられる $B$-加群である。

$A$-線形写像 $d:B\to {\Omega }_{B/A}$ が存在し、Leibniz 則

$$d(xy)=x\cdot dy+y\cdot dx$$

を満たす。さらに、$B$-加群 $M$ への任意の $A$-微分 $\partial :B\to M$ に対し、唯一の $B$-加群準同型 $\phi :{\Omega }_{B/A}\to M$ が存在して $\partial =\phi \circ d$ となる。

具体的構成

${\Omega }_{B/A}$ は次のように構成できる。$B{\otimes }_{A}B$ に対し、積写像 $\mu :B{\otimes }_{A}B\to B$（$\mu (x\otimes y)=xy$）の核を $I$ とする。このとき

$${\Omega }_{B/A}=I/I^2$$

であり、$d:B\to {\Omega }_{B/A}$ は $db=1\otimes b-b\otimes 1+I^2$ で定まる。

多項式環の場合

$B=A[x_1,\dots ,x_n]$ のとき、${\Omega }_{B/A}$ は自由 $B$-加群であり

$${\Omega }_{B/A}=\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}B\cdot d{x}_i$$

が成り立つ。各 $d{x}_i$ は形式的な微分記号として機能し、$f\in B$ に対して

$$df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$$

となる。通常の微分の公式がそのまま成り立つのである。

完全列

環準同型の合成 $A\to B\to C$ に対し、ケーラー微分の完全列

$${\Omega }_{B/A}{\otimes }_{B}C\to {\Omega }_{C/A}\to {\Omega }_{C/B}\to 0$$

が成り立つ。さらに $B\to C$ が全射なら、核を含む完全列

$$I/I^2\to {\Omega }_{B/A}{\otimes }_{B}C\to {\Omega }_{C/A}\to 0$$

が得られる（$I=\ker (B\to C)$）。

滑らかさとの関係

$A\to B$ が滑らかであることと、${\Omega }_{B/A}$ が有限階数の射影 $B$-加群であることは密接に関係する。体 $k$ 上の有限型 $k$-代数 $B$ の場合、$B$ が $k$ 上滑らかなら ${\Omega }_{B/k}$ は射影加群であり、その階数は $\dim B$ に等しい。

特異点では ${\Omega }_{B/k}$ の階数が「跳び上がる」。これが特異点の微分的な特徴づけとなる。

例

$B=k[x,y]/(y^2-x^3)$（尖点曲線）を考える。${\Omega }_{B/k}$ は

$${\Omega }_{B/k}=(B\cdot dx\oplus B\cdot dy)/(2y\cdot dy-3x^2\cdot dx)$$

となる。原点（$x=y=0$）での局所化において、この加群は自由でなく、特異点の存在を反映している。