英語の支店と本店〜「7番目の支店をオープンする」は何という？

We open our 7th branch.
7番目の支店をオープンする。

branch は枝を意味します。本社から支店が枝のように出てくるというイメージから、支店という意味も持ちます。

head office

逆に本店は head office といいます。

The report was submitted to head office.
レポートが本社に送られた。

headquarter

headquarter
本社を持つ（動詞）

This company is headquartered in London.
この会社はロンドンに本社がある。

headquarter は is headquartered の受動態で「〜に本社を置いている」と意味します。名詞ではありません。