トートロジー（恒真式）と矛盾（恒偽式）は、論理式の重要な分類です。命題変数にどんな真理値を代入しても常に同じ結果になる論理式であ...

真理値表（truth table）は、論理式の真偽をすべての可能な場合について網羅的に示す表です。論理式が正しいかどうかを機械的...

同値（equivalence）は「p であることと q であることは同じ」を表す論理結合子です。双条件文（bicondition...

含意（implication）は「ならば」を表す論理結合子で、記号論理学において最も重要かつ最も誤解されやすい概念の一つです。日...

前回は否定と連言を学びました。今回は選言（OR）を扱います。選言には「包含的選言」と「排他的選言」の2種類があり、その違いを理解...

命題論理では、単純な命題を組み合わせて複合命題を作ります。その基本となるのが否定（NOT）と連言（AND）です。これらは最も基礎...

記号論理学を学ぶ第一歩は、命題と真理値を理解することです。命題とは真か偽かが定まる文のことであり、真理値とはその真偽を表す値のこ...

記号論理学は、人間の推論を記号と規則によって形式化する学問です。日常言語のあいまいさを排除し、数学的に厳密な方法で「正しい推論と...

領域内で $ax + by$ のような式の最大値・最小値を求める問題は、線形計画法と呼ばれます。大学入試でも頻出の重要テーマです...

有理型関数は、正則関数に極を許した関数のクラスだ。複素平面全体で有理型な関数の性質、特に極と零点の分布に関する結果を見ていこう。...

数学で最も重要な定数の一つに、ネイピア数 $e$（自然対数の底）があります。$e \approx 2.71828...$ という...

指数関数や対数関数を含む式の最大・最小問題は、置換して2次関数に帰着させるのが基本です。 指数関数の最大・最小 $y = 4^x...

方程式が曲線を表すのに対し、不等式は平面上の領域を表します。領域の問題は、どの部分が不等式を満たすかを図示することがポイントです...

軌跡とは、ある条件を満たす点全体が描く図形のことです。軌跡を方程式で表すことで、その図形がどのような形になるかを知ることができま...

リーマンゼータ関数は、素数分布の謎を解く鍵として 19 世紀に導入された。複素解析の技法が整数論に応用される典型例であり、未解決...

常用対数（底が 10 の対数）を使うと、大きな数の桁数や、小数点以下で最初に 0 でない数字が現れる位置がわかります。 常用対数...

円の接線は入試でも頻出のテーマです。接点が円上にある場合と、円外の点から引く場合で公式が異なります。 円上の点における接線 円 ...

楕円関数は、複素平面上で二重周期を持つ有理型関数だ。三角関数の一般化とも言え、数論、代数幾何、物理学など広範な分野で登場する。 ...

円と直線がどのような位置関係にあるかは、交点の個数で分類できます。判別式を使う方法と、点と直線の距離を使う方法の2通りがあります...

対数を含む不等式を対数不等式と呼びます。方程式と違って、底が 1 より大きいか小さいかで不等号の向きが変わる点に注意が必要です。...

留数定理は複素積分の計算だけでなく、実数の定積分を求める強力な手法を与える。通常の微分積分学では困難な積分も、複素平面に持ち上げ...

シュワルツ・クリストッフェル変換は、上半平面（または単位円板）を多角形領域に等角写像する具体的な公式を与える。流体力学や電磁気学...

対数を含む方程式を対数方程式と呼びます。基本は「真数を等しくする」か「対数をはずす」かのどちらかです。 基本パターン1：真数を等...

円も直線と同じく方程式で表すことができます。円の方程式には標準形と一般形の2つの表し方があります。 標準形 中心が $(a, b...