判別式は整数環の「複雑さ」を測る数値で、分岐の判定や類数の計算に使われる重要な不変量です。 定義 $K$ を次数 $n$ の数体...

特性方程式は、定数係数線形微分方程式を代数方程式に変換する魔法の道具です。2階だけでなく、任意の $n$ 階方程式にも同じアイデ...

係数が定数の2階同次線形微分方程式は、指数関数 $e^{\lambda x}$ を解として仮定することで、代数方程式（特性方程式...

2階線形微分方程式は、物理学で最も頻繁に現れる方程式の一つです。振動、波動、電気回路など、自然界の多くの現象がこの形で記述されま...

数体の元に対してノルムとトレースという2つの重要な写像が定義できます。これらは整数環の構造を調べる基本的な道具です。 定義 $K...

量化子を使う際に重要なのが、束縛変数と自由変数の区別です。変数が量化子によって「縛られている」かどうかで、論理式の意味が大きく変...

クレローの微分方程式は、$y = xy' + f(y')$ という特殊な形をもつ方程式です。一般解として直線群が得られ、さらに特...

存在量化子（existential quantifier）は、「存在する」を形式化する記号です。記号 ∃ で表し、全称量化子 ∀...

全称量化子（universal quantifier）は、「すべての」を形式化する記号です。記号 ∀ で表し、述語論理の表現力を...

完全微分方程式は、ある関数の全微分がゼロになるという形の方程式です。この形を見抜けば、元の関数（ポテンシャル）を復元するだけで解...

命題論理では、命題を分解不可能な最小単位として扱いました。しかし「すべての人間は死ぬ」や「ある数は素数である」のような文は、命題...

ベルヌーイの微分方程式は、一見すると非線形ですが、適切な変数変換によって1階線形微分方程式に帰着できます。この手法は、非線形方程...

代数的整数論の基本概念として、代数的数と代数的整数の定義から始めます。この2つは似た名前ですが、異なる概念です。 代数的数の定義...

健全性（soundness）と完全性（completeness）は、証明体系と意味論の関係を表す重要な概念です。この2つが成り立...

1階線形微分方程式は、応用上最も重要な微分方程式の一つです。電気回路、化学反応、経済モデルなど、幅広い分野で現れます。積分因子を...

同次形微分方程式は、変数分離形に直接は当てはまらないものの、適切な変数変換によって変数分離形に帰着できる重要なタイプです。 同次...

変数分離形は、最も基本的で解きやすい微分方程式の形です。その名の通り、$x$ と $y$ を左辺と右辺に分離して、それぞれ積分す...

フェルマーの最終定理は、$n \geq 3$ のとき $x^n + y^n = z^n$ を満たす正の整数解が存在しないという主...

通常の整数 $\mathbb{Z}$ では素因数分解の一意性が成り立ちますが、これは決して自明な性質ではありません。整数を少し拡...

微分方程式は、大きく**常微分方程式**（ODE: Ordinary Differential Equation）と**偏微分方...

微分方程式とは、未知関数とその導関数を含む方程式のことです。物理学や工学、経済学など、時間とともに変化する現象を記述するために広...

自然演繹とは異なるアプローチとして、公理系（axiomatic system）があります。少数の公理と推論規則だけを使って、命題...

代数的整数論は、整数の概念を拡張し、代数体における「整数」の性質を研究する数学の分野です。通常の整数 $\mathbb{Z}$ ...

否定（¬）の扱いは、自然演繹の中でも特に興味深い部分です。否定を導入するには背理法を使い、否定を除去するには矛盾から任意の命題を...