微分方程式とは何か

微分方程式とは、未知関数とその導関数を含む方程式のことです。物理学や工学、経済学など、時間とともに変化する現象を記述するために広く用いられています。

代数方程式との違い

代数方程式では、未知数 $x$ の値を求めます。たとえば $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の解は $x = 2, 3$ です。

一方、微分方程式では未知「関数」 $y (x)$ を求めます。方程式の中に $y^{'}$ や $y^{''}$ といった導関数が現れるのが特徴です。

代数方程式

未知数の「値」を求める。 $x^{2} = 4$ なら $x = \pm 2$ 。

微分方程式

未知「関数」を求める。 $y^{'} = 2 x$ なら $y = x^{2} + C$ 。

次の微分方程式を考えてみましょう。

$\frac{d y}{d x} = 2 x$

これは「 $y$ を $x$ で微分すると $2 x$ になる関数 $y$ を求めよ」という意味です。両辺を $x$ で積分すれば、

$y = x^{2} + C$

が得られます。ここで $C$ は任意定数で、積分定数と呼ばれます。この $C$ の値を決めるには、初期条件や境界条件が必要になります。

微分方程式に現れる導関数の最高階数を、その微分方程式の階数といいます。

1階微分方程式

$y^{'} = f (x, y)$ のように、1階導関数までしか含まない方程式です。

2階微分方程式

$y^{''} + y = 0$ のように、2階導関数を含む方程式です。振動や波動の記述によく現れます。

高階微分方程式

3階以上の導関数を含むものもありますが、多くの物理現象は1階か2階で記述できます。

自然現象の多くは「変化の法則」として記述されます。ニュートンの運動方程式 $F = ma$ は、加速度 $a = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}$ を含むので2階微分方程式です。放射性崩壊、熱伝導、人口増加モデルなど、微分方程式なしには記述できない現象は数えきれません。

微分方程式を解くことで、現象の時間発展や空間分布を予測できるようになります。これが微分方程式を学ぶ最大の動機といえるでしょう。