微分方程式とは何か？答えが数ではなく関数になる方程式

方程式を解くとは、ふつう数を探すことです。 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ なら、答えは $2$ と $3$ の 2 つ。

微分方程式で探すのは数ではありません。未知の関数と、その導関数とを結びつけた等式が微分方程式で、答えは関数そのものになる^[1]。

$y^{'} = 2 x$ を満たす $y$ は $y = x^{2}$ という関数です。答えの住む世界が変わる。

未知数が関数になると何が変わるか

数を探すときの候補は、数直線に並ぶ点です。関数を探すときの候補は、平面に描ける曲線すべて。

探す先が桁違いに広いので、条件を満たすものが 1 本に絞れない。 $y = x^{2} + 1$ も $y = x^{2} - 7$ も $y^{'} = 2 x$ を満たします。

微分すると消える定数のぶんだけ、解が横並びに残る。この余りをどう始末するかが、微分方程式の話の半分を占める。

解とは代入して成り立つ関数のこと

解の定義そのものは素朴です。その関数を方程式に代入して、考えている区間で等式が恒等的に成り立てばよい^[3]。

判定は微分して代入するだけなので、解を見つけるより確かめるほうがずっと簡単。この非対称は最後まで付いて回る。

例：指数関数が解になることを確かめる

$y = C e^{x}$ を微分します。指数関数は微分しても形が変わらないので $y^{'} = C e^{x}$ です。

$y^{'} = C e^{x} = y$

もとの $y$ と一致したので、 $y^{'} = y$ の解になりました。 $C$ がどんな値でも成り立つため、これは 1 本ではなく解の族。

$C = 0$ とすると、恒等的に $0$ の関数が残る。これも立派な解の 1 つ。

階数は最高階の導関数で決まる

方程式に現れる導関数のうち、いちばん高い階数がその方程式の階数です^[3]。

$y^{'} = 2 x$ は 1 階、 $y^{''} + y = 0$ は 2 階。 $y^{'}$ が何乗されていようと、階数の判定には関わらない。

$n$ 階の方程式を解くと、任意定数が $n$ 個現れる。積分を $n$ 回するのだから、そのたびに定数が 1 つ増える、と読めば自然です。

例：階数を数える

3 つ並べて確かめます。

y^{'} + 3 y = e^{x}

は 1 階。最高階が

y^{'}

です。

(y^{''})^{3} + y^{'} = 0

は 2 階。

3

乗されていても階数は変わりません。

y^{''''} = y

は 4 階。任意定数が 4 個必要になります。

$3$ 乗が効くのは階数ではなく、線形かどうかの判定のほう。未知関数とその導関数について 1 次であるものを線形といい、 $(y^{''})^{3}$ はこれを壊す^[7]。

解は 1 本ではなく族になる

$y^{'} = 2 x$ の解は $y = x^{2} + C$ です。 $C$ を動かすと、同じ形の放物線が上下に平行移動する。

平面のどの点にも、ちょうど 1 本の解曲線が通る。互いに交わらずに平面を埋め尽くす、この様子が一般解の姿です。

初期条件が 1 本を選び出す

$C$ を決めるには、通ってほしい点を 1 つ指定します。 $x = 1$ で $y = 3$ なら、 $3 = 1 + C$ から $C = 2$ 。

このような条件を初期条件、方程式と初期条件をあわせたものを初期値問題といいます^[2]。区間の両端で条件を与えるやり方もあり、そちらは境界値問題と呼ぶ^[3]。

どちらを課すかで、解が 1 つに決まるかどうかの事情が変わる。

例：初期条件から定数を決める

$y^{'} = y$ 、 $y (0) = 5$ を解きます。一般解は先ほど確かめた $y = C e^{x}$ です。

$x = 0$ を代入すると $y (0) = C$ なので $C = 5$ 。求める解は $y = 5 e^{x}$ になる。

一般解を書いてから条件を当てて定数を消す、という 2 段構え。微分方程式を解く作業は、たいていこの形をとる。

一般解と特殊解と特異解

$n$ 階の方程式で、独立な任意定数を $n$ 個持つ解を一般解といいます。定数に具体的な値を入れたものが特殊解です^[4]。

一般解のどの定数を選んでも出てこない解が、まれに存在する。これを特異解と呼びます^[5]。

例：一般解の外にある解

$y^{'} = 3 y^{2/3}$ を考えます。変数を分けて積分すると $y = (x - C)^{3}$ が得られる。

微分すると $y^{'} = 3 (x - C)^{2}$ で、右辺も $3 ((x - C)^{3})^{2/3} = 3 (x - C)^{2}$ 。たしかに解です。

ところが恒等的に $y = 0$ の関数も、両辺が $0$ になるので解になります。 $C$ をどう選んでも $(x - C)^{3}$ は恒等的に $0$ にはなりません。

この $y = 0$ が特異解です。原点を通る解が無数にでき、初期条件を与えても 1 本に決まらなくなる。

解があること、1 つしかないこと

$y^{'} = f (x, y)$ の右辺が連続なら、初期値問題には少なくとも 1 つ解が存在します。ペアノの存在定理^[2]。

一意性まで欲しいときは、条件が 1 段きつくなる。 $f$ が $y$ について局所リプシッツなら解はただ 1 本で、これをピカール・リンデレフの定理と呼びます^[5]。

さきほどの $3 y^{2/3}$ は $y = 0$ の近くでリプシッツ条件を満たさない。だから一意性が壊れます。

存在だけを言う定理

右辺が連続であればよい。解が 1 本とは限らず、枝分かれを許す。

一意性まで言う定理

右辺が $y$ についてリプシッツ連続であることを追加で要求する。そのぶん結論が強い。

条件が強いほど結論も強い、という素直な関係。どちらの定理も局所的な主張で、解が区間の端まで延びるかどうかは別に調べる。

方向場を描くと解かなくても形が見える

$y^{'} = f (x, y)$ は、平面の各点で解曲線の傾きを指定しています。点 $(x, y)$ に傾き $f (x, y)$ の短い線分を置いたものが方向場です^[6]。

解曲線は、この線分に沿って進む曲線。方程式が解けなくても、増える向き・減る向き・落ち着く先は図から読める。

傾きが同じ値になる点を結んだ曲線を等傾斜線という。 $f (x, y) = k$ とおけば求まるので、方向場を手で描くときの下書きになります。

例：方向場から行き先を読む

$y^{'} = x - y$ の方向場では、どの解も右へ行くほど 1 本の直線に寄っていく。その直線が $y = x - 1$ です。

一般解を書き下すと、図から読んだとおりの形になる。

$y = x - 1 + C e^{- x}$

$x$ が大きくなると $C e^{- x}$ が消え、残るのは $y = x - 1$ だけ。出発点が違っても、行き先は共通になる。

解ける方程式のほうが珍しい

初等関数で解を書き下せる微分方程式は、ごく一部にすぎません^[4]。残りは数値計算で近似するか、解かずに性質だけを調べることになる。

そのため微分方程式の勉強は、解ける形を見分ける練習から始まります。変数分離形、同次形、1 階線形といった型に当てはめる作業です。

型に入らなければ、級数で表す、変換で別の形へ移す、定性的に振る舞いを追う、と道が分かれる。

どこから来たのか

微分方程式は微分積分学と同時に生まれました。ニュートンは 1671 年ごろの『流率法』で 3 つの型を挙げ、無限級数を使って解いています^[1]。

ヤコブ・ベルヌーイが 1695 年に $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ を提出し、翌年ライプニッツが解を与えました^[1,4]。

ダランベールが 1746 年に 1 次元の波動方程式を見つけ、10 年のうちにオイラーが 3 次元へ広げた。フーリエが熱伝導の方程式を『熱の解析的理論』に載せたのは 1822 年^[1,7]。

問題 1：階数と線形性を判定する

次の 4 つについて、階数を答え、線形かどうかを判定せよ。

y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = sin x

。

y^{'} + y^{2} = x

。

x y^{'''} - y = 0

。

(y^{'})^{2} = y

。

解答 1

1 番目は 2 階で線形です。未知関数とその導関数が 1 次で現れ、係数は $x$ だけの関数になっている。

2 番目は 1 階ですが、 $y^{2}$ があるので非線形。3 番目は 3 階で線形で、係数の $x$ は未知関数ではないため問題ない。

4 番目は 1 階の非線形です。 $(y^{'})^{2}$ が 2 次なので、階数は 1 のまま線形性だけが壊れる。

問題 2：重ね合わせを確かめる

$y = e^{2 x}$ と $y = e^{- x}$ がともに $y^{''} - y^{'} - 2 y = 0$ の解であることを確かめ、 $y = 3 e^{2 x} - 4 e^{- x}$ も解になることを示せ。

解答 2

$y = e^{2 x}$ では $y^{'} = 2 e^{2 x}$ 、 $y^{''} = 4 e^{2 x}$ です。

$y^{''} - y^{'} - 2 y = (4 - 2 - 2) e^{2 x} = 0$

$y = e^{- x}$ でも同様に $y^{'} = - e^{- x}$ 、 $y^{''} = e^{- x}$ となり、 $(1 + 1 - 2) e^{- x} = 0$ 。

左辺は $y$ について 1 次なので、2 つの解を定数倍して足したものも解になる。 $3 e^{2 x} - 4 e^{- x}$ を代入すれば、それぞれの結果が定数倍されて足されるだけ。値は $0$ のままです。

問題 3：解が定義される範囲

$y = \frac{1}{C - x}$ が $y^{'} = y^{2}$ の解であることを確かめ、 $y (0) = 2$ を満たす解と、その解が意味を持つ範囲を答えよ。

解答 3

商の微分から $y^{'} = \frac{1}{( C - x ) ^{2}}$ で、これは $y^{2}$ に一致する。

$x = 0$ で $y = 2$ とすると $\frac{1}{C} = 2$ 、つまり $C = \frac{1}{2}$ です。

$y = \frac{1}{\frac{1}{2} - x} = \frac{2}{1 - 2 x}$

$x = \frac{1}{2}$ で分母が $0$ になるため、初期条件を含む範囲は $x < \frac{1}{2}$ に限られる。

右辺が全平面で滑らかなのに、解は有限の $x$ で発散する。方程式の見た目からは範囲が読めない例。

問題 4：2 階の初期値問題

$y^{''} = 6 x$ の一般解を求め、 $y (0) = 1$ と $y^{'} (0) = - 2$ を満たす解を決定せよ。

解答 4

両辺を積分すると $y^{'} = 3 x^{2} + C_{1}$ 、もう一度積分して次の一般解を得ます。

$y = x^{3} + C_{1} x + C_{2}$

$y^{'} (0) = C_{1} = - 2$ 、 $y (0) = C_{2} = 1$ です。

$y = x^{3} - 2 x + 1$

2 階なので任意定数が 2 個あり、条件も 2 つ要りました。階数と条件の個数がそろっている。

問題 5：定数を消して方程式を作る

$y = C x^{2}$ が満たす 1 階微分方程式を作れ。

解答 5

微分すると $y^{'} = 2 C x$ です。ここから $C$ を消します。

もとの式より $C = \frac{y}{x ^{2}}$ なので、代入して整理します。

$y^{'} = 2 x \cdot \frac{y}{x ^{2}} = \frac{2 y}{x}$

得られた $x y^{'} = 2 y$ が答えです。任意定数を含む関数の族から出発して、微分と消去で方程式を作る。解く作業とちょうど逆向きの操作になる。

問題 6：一意性が壊れる初期値問題

$y^{'} = 3 y^{2/3}$ 、 $y (0) = 0$ を満たす解を 2 つ挙げよ。

解答 6

恒等的に $y = 0$ の関数がまず 1 つ。両辺とも $0$ になります。

$y = x^{3}$ も解です。 $y^{'} = 3 x^{2}$ で、右辺は $3 (x^{3})^{2/3} = 3 x^{2}$ となり一致する。

さらに $x \leq a$ で $0$ 、 $x > a$ で $(x - a)^{3}$ とつないだ関数も、 $a > 0$ ならすべて解になる。同じ初期条件から無数の解が出る。右辺がリプシッツ条件を満たさないときに起きる現象。

$y^{''} + (y^{'})^{2} - 4 y = cos x$ の階数と線形性の組として正しいものはどれか。

1 階・線形
2 階・非線形
2 階・線形
3 階・非線形

__RESULT__

最高階の導関数は $y^{''}$ なので階数は 2 です。 $(y^{'})^{2}$ が 2 次で現れているため線形ではありません。右辺の $cos x$ は未知関数を含まないので、線形性の判定には関係しません。

よくある誤り

解を 1 つの関数だと思い込むと外します。任意定数のぶんだけ族になっていて、条件を課してはじめて 1 本に決まります。

階数と次数を混同しないようにします。

(y^{''})^{3}

は 3 次ですが階数は 2 のままです。

右辺が全平面で滑らかでも、解が全平面で定義されるとは限りません。有限の

x

で発散する解があります。

一般解を書けばすべての解が尽きる、とは言えません。特異解が外に残る場合があります。

初期条件を与えれば必ず解が 1 本に決まる、というのも誤りです。リプシッツ条件が要ります。

線形かどうかは、右辺に

x

の関数があるかでは決まりません。未知関数とその導関数について 1 次かどうかで決まります。

参考文献

Differential equation - Wikipedia（英語）

Ordinary differential equation - Wikipedia（英語）

Differentialgleichung - Wikipedia（ドイツ語）

Équation différentielle - Wikipédia（フランス語）

Ecuación diferencial ordinaria - Wikipedia（スペイン語）

Slope field - Wikipedia（英語）

微分方程 - 维基百科（中国語）

方程式を解くとは、ふつう数を探すこと。微分方程式では関数そのものが答えになります。代入して成り立てば解であること、階数は最高階の導関数で決まること、任意定数のぶんだけ解が族になることを順に確かめ、初期条件がその中から 1 本を選ぶところまでを追います。方向場を描けば、解かずに行き先が読める。一般解の外に特異解が残る場合もあり、同じ初期条件から無数の解が出ることもある。階数の判定から定数の消去まで、計算問題つき。