1階線形微分方程式

1階線形微分方程式は、応用上最も重要な微分方程式の一つです。電気回路、化学反応、経済モデルなど、幅広い分野で現れます。積分因子を用いた解法により、一般解を明示的に書き下すことができます。

標準形

1階線形微分方程式は次の形に書けます。

$\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$

$y$ とその導関数 $y^{'}$ が1次式として現れており、「線形」という名前の由来です。 $Q (x) = 0$ のとき同次、 $Q (x) \neq = 0$ のとき非同次と呼びます。

両辺に積分因子 $μ (x) = e^{\int P (x) d x}$ を掛けます。すると、

$μ (x) \frac{d y}{d x} + μ (x) P (x) y = μ (x) Q (x)$

左辺は積の微分公式により、

$\frac{d}{d x} [μ (x) y] = μ (x) Q (x)$

と書けます。両辺を積分すれば、

$μ (x) y = \int μ (x) Q (x) d x + C$

したがって一般解は、

$y = \frac{1}{μ ( x )} (\int μ (x) Q (x) d x + C)$

です。

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 0$

$P (x) = 2$ , $Q (x) = 0$ なので、 $μ (x) = e^{2 x}$ です。

$e^{2 x} y = C$

したがって $y = C e^{- 2 x}$ が一般解です。

$\frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

$P (x) = 1$ , $Q (x) = e^{x}$ なので、 $μ (x) = e^{x}$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{2 x}$

積分すると、

$e^{x} y = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

したがって、

$y = \frac{1}{2} e^{x} + C e^{- x}$

積分因子の意味

$μ (x)$ を掛けることで、左辺が「積の微分」の形になり、直接積分できるようになります。

一般解の構造

一般解は「同次方程式の一般解」＋「非同次方程式の特殊解」という形になっています。上の例では $C e^{- x}$ が同次の解、 $\frac{1}{2} e^{x}$ が特殊解です。

$y = e^{- \int P d x} (\int Q e^{\int P d x} d x + C)$

これを暗記するよりも、積分因子 $μ = e^{\int P d x}$ を掛けて「積の微分」に持ち込むという手順を理解する方が応用が利きます。

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ の直列回路では、電圧 $V$ に対して電荷 $q$ が従う方程式は、

$R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V$

これは1階線形微分方程式であり、積分因子を使って解くことができます。