積分因子を掛けると 1 階線形微分方程式が積の微分に化ける

未知関数とその導関数が 1 次で現れる 1 階の方程式を、1 階線形微分方程式といいます^[2]。標準形は次のとおり。

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$

このままでは変数を分けられません。ところが $e^{\int Pdx}$ を掛けると、左辺がまるごと積の微分に化ける^[1]。

この掛ける相手を積分因子といいます。1 階線形はこれ 1 本で片付く型。

まず標準形に直す

$a(x)y^{\prime }+b(x)y=c(x)$ の形で与えられたら、$a(x)$ で割って $y^{\prime }$ の係数を $1$ にします。これが標準形。

$$y^{\prime }+\frac{b(x)}{a(x)}y=\frac{c(x)}{a(x)}$$

割る前に積分因子を作ると、$P(x)$ を読み違える。$a(x)$ が定数でないときほど落としやすい手順^[4]。

$a(x)=0$ となる点では、この割り算ができません。そこで区間が切れる。

積分因子はどこから出てくるか

標準形の両辺に、まだ正体の分からない $\mu (x)$ を掛けます。

$$\mu y^{\prime }+\mu Py=\mu Q$$

左辺が $(\mu y{)}^{\prime }=\mu y^{\prime }+{\mu }^{\prime }y$ と一致してほしい。両者を見比べると、要求は 1 本の式に落ちる^[1]。

$${\mu }^{\prime }=\mu P$$

これは $\mu$ についての変数分離形です。解くと $\mu =e^{\int Pdx}$ が出てくる。

積分因子は天下りに与えられる呪文ではなく、「左辺を積の微分にしたい」という要求から決まる関数。

一般解の形

積分因子を掛けたあとの式は $(\mu y{)}^{\prime }=\mu Q$ です。両辺を積分すれば $\mu y$ が求まる。

$$y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)dx+C\right),\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$$

公式として覚えるより、積分因子を掛けて積の微分にまとめる手順を覚えるほうが早い^[1]。

積分因子の定数は落としてよい

$\int Pdx$ に積分定数 $K$ を付けると、積分因子が $e^K\mu$ になる。定数倍しても両辺に同じだけ掛かるので、消えて残らない^[1,4]。

対数の絶対値も同じ扱いです。$P=-2/x$ なら $\int Pdx=-2\log |x|$ で $\mu =|x{|}^{-2}=x^{-2}$、符号が二乗で消えます。

積分因子は 1 つ見つければ足りる。いちばん簡単なものを選ぶ。

例：$y^{\prime }+2y=e^x$ を解く

$P=2$ なので $\mu =e^{2x}$ です。両辺に掛ける。

$${\left(e^{2x}y\right)}^{\prime }=e^{3x}$$

積分して $e^{2x}y=\frac{e^{3x}}{3}+C$ となる。

$$y=\frac{e^x}{3}+C{e}^{-2x}$$

第 1 項が特殊解、第 2 項が斉次解です。右辺の $e^x$ と斉次解の $e^{-2x}$ が、はっきり別の役をしている。

例：$x{y}^{\prime }-2y=x^3$ を解く

まず標準形へ直します。$x\ne 0$ として $x$ で割る。

$$y^{\prime }-\frac{2}{x}y=x^2$$

$P=-2/x$ から $\mu =x^{-2}$ です。掛けると左辺が $(x^{-2}y{)}^{\prime }$ にまとまる。

$${\left(x^{-2}y\right)}^{\prime }=1$$

積分すると $x^{-2}y=x+C$ で、両辺に $x^2$ を掛けて次を得ます。

$$y=x^3+C{x}^2$$

割る前の形のまま $P=-2$ と読むと、$\mu =e^{-2x}$ になって行き詰まる。標準形へ直す一手が効いている。

解の集合はアフィン空間になる

特殊解を 1 つ $y_p$ とすると、すべての解は $y_p$ に斉次解を足した形で書ける^[3]。

$$y=y_p+C{e}^{-\int Pdx}$$

斉次方程式 $y^{\prime }+Py=0$ の解は 1 次元の直線をなし、そこを $y_p$ だけ平行移動した集合が解の全体。ベクトル空間ではなくアフィン空間です^[5]。

線形代数の $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ と同じ構造。特殊解 1 つと斉次解の全体が分かれば、解が尽きる。

定数変化法

積分因子とは別の道からも、同じ答えに着く。斉次解 $C{e}^{-\int P}$ の定数 $C$ を、$x$ の関数に格上げする^[3]。

$y=C(x)e^{-\int Pdx}$ と置いて代入すると、$C$ の微分だけが残ります。積分因子を掛けたときと、まったく同じ式になる。

名前は違っても中身は 1 つ。2 階以上では定数変化法のほうが伸びるので、こちらの言い方も覚えておくと後で効く。

例：定数変化法で解く

$y^{\prime }+y=x$ を定数変化法で解きます。斉次方程式 $y^{\prime }+y=0$ の解は $y=C{e}^{-x}$。

$C$ を関数に替えて $y=C(x)e^{-x}$ と置き、代入します。

$$C^{\prime }{e}^{-x}-C{e}^{-x}+C{e}^{-x}=x$$

$C$ を含む項が打ち消し合い、$C^{\prime }{e}^{-x}=x$ だけが残る。ここが定数変化法の勘どころ。

$C^{\prime }=x{e}^x$ を部分積分して $C=(x-1)e^x+K$ となる。

$$y=x-1+K{e}^{-x}$$

積分因子で解いた場合とまったく同じ答えです。

1 階のうちは積分因子で十分ですが、先を見ると定数変化法の考え方が効いてくる。

存在と一意性は区間ごとに

$P$ と $Q$ が区間 $I$ で連続なら、$y(x_0)=y_0$ を満たす解が $I$ 全体でただ 1 つ存在します^[3,6]。

局所的な主張ではありません。非線形では解が途中で発散することがありましたが、線形ではそれが起こらない。

区間を切るのは係数の不連続だけ。標準形にしたとき $P$ や $Q$ が飛ぶ点で、解の生きる区間が分かれる。

例：区間が切れる

$x{y}^{\prime }+y=3x^2$ を考えます。左辺はすでに $(xy{)}^{\prime }$ なので、積分因子は $1$。

$$xy=x^3+C⟹y=x^2+\frac{C}{x}$$

$y(1)=2$ とすると $C=1$ で、解は $y=x^2+\frac{1}{x}$ です。

この解が意味を持つのは $x>0$ だけ。標準形 $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=3x$ の係数が $x=0$ で飛ぶので、初期値を含む区間はそこで止まる。

$x<0$ 側にも同じ形の解がありますが、定数は独立です。1 本の解として左右をつなぐことはできない。

初期値を組み込んだ書き方

積分に区間を書き入れると、初期条件が式の中に入る^[5]。

$$y(x)=e^{-{\int }_{x_0}^{x}P}\left(y_0+{\int }_{x_0}^{x}Q(s)e^{{\int }_{x_0}^{s}P}ds\right)$$

$x=x_0$ を入れると指数が $1$、積分が $0$ になり、$y=y_0$ が出ます。定数を後から決める手間が消える。

問題 1：定数係数

$y^{\prime }+3y=6$ を解け。

解答 1

$P=3$ から $\mu =e^{3x}$ です。

$${\left(e^{3x}y\right)}^{\prime }=6e^{3x}$$

積分して $e^{3x}y=2e^{3x}+C$ となる。

$$y=2+C{e}^{-3x}$$

$y=2$ が特殊解で、$x$ を大きくするとどの解もここへ寄る。右辺が定数なら、特殊解も定数と見当を付けられる。

問題 2：係数が $x$ の関数

$y^{\prime }-\frac{1}{x}y=x$ を $x>0$ で解け。

解答 2

$P=-1/x$ なので $\int Pdx=-\log x$、したがって $\mu =\frac{1}{x}$ です。

$${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=1$$

積分すると $\frac{y}{x}=x+C$ になる。

$$y=x^2+Cx$$

$\mu$ を掛けたあと左辺が積の微分になっているかどうかは、展開して確かめられます。${\left(\frac{y}{x}\right)}^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{x}-\frac{y}{x^2}$ で、これは標準形に $\frac{1}{x}$ を掛けたものと一致する。

問題 3：標準形へ直してから

$x{y}^{\prime }+2y=\sin x$ を $x>0$ で解け。

解答 3

$x$ で割って $y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\frac{\sin x}{x}$ とします。$\int Pdx=2\log x$ から $\mu =x^2$。

$${\left(x^{2}y\right)}^{\prime }=x\sin x$$

右辺を部分積分すると $\int x\sin xdx=\sin x-x\cos x$ になる。

$$y=\frac{\sin x-x\cos x+C}{x^2}$$

標準形に直さずに $P=2$ と読むと $\mu =e^{2x}$ になり、左辺がまとまらない。

問題 4：積分因子が 1 になる場合

$(1+x^2)y^{\prime }+2xy=1$ を解け。

解答 4

左辺をよく見ると ${\left((1+x^2)y\right)}^{\prime }$ そのものです。$(1+x^2{)}^{\prime }=2x$ だから。

$${\left((1+x^2)y\right)}^{\prime }=1$$

積分して $(1+x^2)y=x+C$ となる。

$$y=\frac{x+C}{1+x^2}$$

標準形へ直して $\mu$ を計算しても、$\mu =1+x^2$ が出て同じ式になります。先に左辺の形を見ると、割り算と積分を 1 往復省ける。

問題 5：初期値問題

$y^{\prime }+y=\sin x$ を $y(0)=0$ のもとで解け。

解答 5

$\mu =e^x$ です。

$${\left(e^{x}y\right)}^{\prime }=e^x\sin x$$

右辺の積分は、部分積分を 2 回して同じ形に戻すやり方で求まります。

$$\int e^x\sin xdx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$$

したがって $y=\frac{\sin x-\cos x}{2}+C{e}^{-x}$ になる。$x=0$ で $y=0$ から $C=\frac{1}{2}$ です。

$$y=\frac{\sin x-\cos x+e^{-x}}{2}$$

$x$ が大きくなると $e^{-x}$ が消え、振動する項だけが残ります。

問題 6：区間を答える

$x{y}^{\prime }+y=3x^2$、$y(-1)=4$ の解と、その解が意味を持つ区間を答えよ。

解答 6

一般解は $y=x^2+\frac{C}{x}$ です。$x=-1$、$y=4$ を代入する。

$$4=1-C⟹C=-3$$

解は $y=x^2-\frac{3}{x}$ になる。初期値が $x=-1$ にあるので、区間は $x<0$ です。

同じ一般解の式でも、初期値がどちら側にあるかで区間が変わる。$x=0$ をまたぐ解はありません。

問題 7：線形に化ける形

$y^{\prime }+y=x{y}^2$ を解け。

解答 7

$y^2$ があるので線形ではありません。両辺を $y^2$ で割ります。

$$y^{-2}{y}^{\prime }+y^{-1}=x$$

$u=y^{-1}$ と置くと $u^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$ なので、$-u^{\prime }+u=x$ です。整理して標準形にする。

$$u^{\prime }-u=-x$$

$\mu =e^{-x}$ を掛けると ${\left(e^{-x}u\right)}^{\prime }=-x{e}^{-x}$ で、右辺の積分は $(x+1)e^{-x}$ になります。

$$u=x+1+C{e}^x⟹y=\frac{1}{x+1+C{e}^x}$$

$y=0$ も、もとの方程式の解です。割ったときに落ちるので、拾い直す。

よくある誤り

参考文献