同次形の微分方程式 - まず y/x をひとかたまりの変数へ

右辺が $y/x$ だけで書ける 1 階の微分方程式を同次形といいます^[1]。

$$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$

$u=y/x$ とひとかたまりに置くと、変数分離形に変わります^[4]。分けられない式を、置き換えで分けられる形へ移す。その最初の例がこの型です。

同次関数とは何か

もとの定義は関数の側にある。$f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$ がすべての $t>0$ で成り立つとき、$f$ を $n$ 次の同次関数といいます^[1]。

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ の形で、$M$ と $N$ が同じ次数の同次関数なら、この方程式は同次形です。

このとき $dy/dx=-M/N$ の分母と分子で $t^n$ が打ち消し合うので、右辺は $0$ 次同次になる。$0$ 次同次の 2 変数関数は $y/x$ だけの関数として書ける。

例：同次関数かどうかを見る

$f(x,y)=x^2+xy$ に $tx$、$ty$ を代入します。

$$f(tx,ty)=t^2{x}^2+t^{2}xy=t^{2}f(x,y)$$

$2$ 次の同次関数です。$g(x,y)=x^2+y$ なら $g(tx,ty)=t^2{x}^2+ty$ となり、$t$ のべきでくくれない。同次ではありません。

$\frac{x^2+y^2}{xy}$ は分子も分母も $2$ 次なので、比は $0$ 次。$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ と書き直せば、$y/x$ だけの式であることが目で見える。

同次という言葉には 2 つの意味がある

線形微分方程式でも同次という言葉を使いますが、意味が違う^[1]。あちらは右辺が $0$、つまり非同次項がないことを指す。

$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$ は同次な線形方程式ですが、この記事の同次形ではありません。

同じ語が別の概念に当てられているだけなので、文脈で読み分ける。1 階で $F(y/x)$ の形なら、こちらの同次形。

置き換えると分けられる形になる

$u=y/x$ と置きます。$y=ux$ を $x$ で微分すると、積の微分から次が出る。

$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

これをもとの方程式へ代入します。左辺が $u+x{u}^{\prime }$、右辺が $F(u)$ です。

$$x\frac{du}{dx}=F(u)-u$$

右辺は $u$ だけ、左辺の $x$ は独立に分けられる。変数分離形になりました^[2]。

$$\frac{du}{F(u)-u}=\frac{dx}{x}$$

積分して $u$ を求めたら、最後に $u=y/x$ を戻す。手順としては置き換え、分離、積分、戻しの 4 段。

例：$y^{\prime }=1+\frac{y}{x}$ を解く

$F(u)=1+u$ なので $F(u)-u=1$ です。分母が定数になり、いちばん簡単な形。

$$x\frac{du}{dx}=1⟹du=\frac{dx}{x}$$

積分すると $u=\log |x|+C$ になる^[2]。$u=y/x$ を戻します。

$$y=x\log |x|+Cx$$

$x$ を掛けるところを忘れると、まったく別の関数になる。戻しは最後の一手ですが、落としやすい一手。

例：$y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{xy}$ を解く

右辺を $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ と直すと、$F(u)=\frac{1}{u}+u$ と読めます。

$$x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}+u-u=\frac{1}{u}$$

$udu=\frac{dx}{x}$ を積分して $\frac{u^2}{2}=\log |x|+C_1$ となる。

$$y^2=2x^2(\log |x|+C)$$

$u=y/x$ を戻して両辺に $x^2$ を掛けました。右辺の括弧の中が負になる範囲では、実数の解がない。

拡大しても解が解のまま

同次形には、はっきりした幾何的な意味がある。傾きが $y/x$ だけで決まるので、原点を中心に図全体を $k$ 倍しても方向場が変わらない。

そのため 1 本の解曲線を $k$ 倍すると、また別の解曲線になる。解の族は原点中心の相似変換で閉じている。

さきほどの $y=x\log |x|+Cx$ で確かめます。$(x,y)$ を $(kx,ky)$ へ移すと、定数が $C-\log k$ に変わっただけの同じ族へ入る。

原点を通る直線が解になる場合

$F(u_0)=u_0$ を満たす $u_0$ があると、$xdu/dx=F(u)-u$ の右辺が $0$ になる。$u\equiv u_0$ が定数解です。

戻すと $y=u_{0}x$、原点を通る直線になる。変数分離で割った先に落ちる定数解が、ここでは直線として現れる^[2]。

$F(u)=u$ が恒等的に成り立つときは、すべての $u$ が定数解。方程式は $y^{\prime }=y/x$ で、解は原点を通る直線すべてです。

例：定数解を拾う

$y^{\prime }=\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x^2}$ を解きます。$F(u)=u-u^2$ なので $F(u)-u=-u^2$。

$u=0$ が定数解で、$y=0$ にあたります。$u\ne 0$ として分離する。

$$-\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x}⟹\frac{1}{u}=\log |x|+C$$

$u=y/x$ を戻すと次が得られる^[2]。

$$y=\frac{x}{\log |x|+C}$$

この族に $y=0$ は入っていない。落とした定数解を別に書き添える。

平行移動で同次形へ持ち込む

分子と分母が 1 次式の分数も、原点をずらせば同次形になる^[3]。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}$$

2 本の直線 $a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ と $a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ が 1 点で交わるとします。その交点を $(h,k)$ とする。

$X=x-h$、$Y=y-k$ と置くと定数項が消え、同次形になる。交点へ原点を運ぶ操作です。

2 直線が平行なときはこの手が使えない。かわりに $u=a_{1}x+b_{1}y$ と置くと、変数分離形に落ちる。

例：交点へ原点を移す

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-3}{x-y-1}$ を考えます。2 直線の交点は $x=2$、$y=1$。

$X=x-2$、$Y=y-1$ と置くと、分子は $X+Y$、分母は $X-Y$ になる。

$$\frac{dY}{dX}=\frac{X+Y}{X-Y}=\frac{1+Y/X}{1-Y/X}$$

$u=Y/X$ と置きます。

$$X\frac{du}{dX}=\frac{1+u}{1-u}-u=\frac{1+u^2}{1-u}$$

分離して積分する。左辺は逆正接と対数に分かれます。

$$\arctan u-\frac{1}{2}\log (1+u^2)=\log |X|+C$$

$u=Y/X$、さらに $X=x-2$、$Y=y-1$ を戻せば答えです。陰関数のままで止める。

問題 1：同次関数の次数を答える

次の 3 つについて、同次関数かどうかを判定し、同次なら次数を答えよ。

解答 1

1 番目は $t$ を代入すると $t^3{x}^3-2t^{3}x{y}^2=t^{3}f(x,y)$ です。$3$ 次の同次関数。

2 番目は $\sqrt{t^2{x}^2+t^2{y}^2}=t\sqrt{x^2+y^2}$ となり $1$ 次です。$t>0$ としているので絶対値は要らない。

3 番目は $t^2{x}^2+t^3{y}^3$ で、$t$ のべきが 2 通り現れます。くくり出せないので同次ではない。

問題 2：基本の同次形

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$ を解け。

解答 2

$F(u)=u+u^2$ なので $F(u)-u=u^2$ です。$u=0$、つまり $y=0$ が定数解。

$u\ne 0$ として分離します。

$$\frac{du}{u^2}=\frac{dx}{x}⟹-\frac{1}{u}=\log |x|+C$$

$u=y/x$ を戻して整理する。

$$y=-\frac{x}{\log |x|+C}$$

定数解 $y=0$ はこの族に含まれないので、別に書き添えます。

問題 3：分子と分母を見て同次形と気づく

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y}$ を解け。

解答 3

分子も分母も 1 次の同次関数なので、比は $0$ 次です。$u=y/x$ と置きます。

$$x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}-u=\frac{1+u^2}{1-u}$$

分離して積分する。

$$\int \frac{1-u}{1+u^2}du=\arctan u-\frac{1}{2}\log (1+u^2)$$

したがって $\arctan \frac{y}{x}-\frac{1}{2}\log \left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\log |x|+C$ です。

極座標に直すと $\theta =\log r+C^{\prime }$ となり、対数らせん。同次形の解が原点まわりの相似な形になる例です。

問題 4：初期条件つき

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}$ を $y(1)=2$ のもとで解け。

解答 4

問題 2 と同じ形なので、一般解は $y=-\frac{x}{\log |x|+C}$ です。

$x=1$ で $y=2$ を代入すると $\log 1=0$ より $2=-\frac{1}{C}$、つまり $C=-\frac{1}{2}$。

$$y=-\frac{x}{\log x-\frac{1}{2}}=\frac{2x}{1-2\log x}$$

分母が $0$ になる $x=\sqrt{e}$ で発散するので、初期値を含む範囲は $0<x<\sqrt{e}$ になる。

問題 5：平行移動が要る形

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{x-y+3}$ を同次形に直せ。

解答 5

$x+y+1=0$ と $x-y+3=0$ を連立します。足すと $2x+4=0$ で $x=-2$、代入して $y=1$。

$X=x+2$、$Y=y-1$ と置きます。

$$x+y+1=X+Y,x-y+3=X-Y$$

もとの方程式は $\frac{dY}{dX}=\frac{X+Y}{X-Y}$ になり、問題 3 と同じ形。あとは $u=Y/X$ で解けます。

問題 6：平行移動が効かない形

$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y+1}{x+y+3}$ を解け。

解答 6

2 直線が平行なので、交点がない。平行移動では同次形になりません。

$u=x+y$ と置きます。$u^{\prime }=1+y^{\prime }$ なので、次のように書き直せる。

$$\frac{du}{dx}=1+\frac{u+1}{u+3}=\frac{2u+4}{u+3}$$

分離して積分します。左辺の分数は $\frac{u+3}{2u+4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2u+4}$ と分けられる。

$$\frac{u}{2}+\frac{1}{2}\log |2u+4|=x+C$$

$u=x+y$ を戻せば答えです。同次形にならない形でも、別の置き換えで分けられる場合がある。

よくある誤り

参考文献