同次形の微分方程式 - まず y/x をひとかたまりの変数へ

右辺が $y / x$ だけで書ける 1 階の微分方程式を同次形といいます^[1]。

$\frac{d y}{d x} = F (\frac{y}{x})$

$u = y / x$ とひとかたまりに置くと、変数分離形に変わります^[4]。分けられない式を、置き換えで分けられる形へ移す。その最初の例がこの型です。

同次関数とは何か

もとの定義は関数の側にある。 $f (t x, t y) = t^{n} f (x, y)$ がすべての $t > 0$ で成り立つとき、 $f$ を $n$ 次の同次関数といいます^[1]。

$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ の形で、 $M$ と $N$ が同じ次数の同次関数なら、この方程式は同次形です。

このとき $d y / d x = - M / N$ の分母と分子で $t^{n}$ が打ち消し合うので、右辺は $0$ 次同次になる。 $0$ 次同次の 2 変数関数は $y / x$ だけの関数として書ける。

例：同次関数かどうかを見る

$f (x, y) = x^{2} + x y$ に $t x$ 、 $t y$ を代入します。

$f (t x, t y) = t^{2} x^{2} + t^{2} x y = t^{2} f (x, y)$

$2$ 次の同次関数です。 $g (x, y) = x^{2} + y$ なら $g (t x, t y) = t^{2} x^{2} + t y$ となり、 $t$ のべきでくくれない。同次ではありません。

$\frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ は分子も分母も $2$ 次なので、比は $0$ 次。 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ と書き直せば、 $y / x$ だけの式であることが目で見える。

同次という言葉には 2 つの意味がある

線形微分方程式でも同次という言葉を使いますが、意味が違う^[1]。あちらは右辺が $0$ 、つまり非同次項がないことを指す。

$y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = 0$ は同次な線形方程式ですが、この記事の同次形ではありません。

同じ語が別の概念に当てられているだけなので、文脈で読み分ける。1 階で $F (y / x)$ の形なら、こちらの同次形。

置き換えると分けられる形になる

$u = y / x$ と置きます。 $y = ux$ を $x$ で微分すると、積の微分から次が出る。

$\frac{d y}{d x} = u + x \frac{d u}{d x}$

これをもとの方程式へ代入します。左辺が $u + x u^{'}$ 、右辺が $F (u)$ です。

$x \frac{d u}{d x} = F (u) - u$

右辺は $u$ だけ、左辺の $x$ は独立に分けられる。変数分離形になりました^[2]。

$\frac{d u}{F ( u ) - u} = \frac{d x}{x}$

積分して $u$ を求めたら、最後に $u = y / x$ を戻す。手順としては置き換え、分離、積分、戻しの 4 段。

例： $y^{'} = 1 + \frac{y}{x}$ を解く

$F (u) = 1 + u$ なので $F (u) - u = 1$ です。分母が定数になり、いちばん簡単な形。

$x \frac{d u}{d x} = 1 ⟹ d u = \frac{d x}{x}$

積分すると $u = lo g ∣ x ∣ + C$ になる^[2]。 $u = y / x$ を戻します。

$y = x lo g ∣ x ∣ + C x$

$x$ を掛けるところを忘れると、まったく別の関数になる。戻しは最後の一手ですが、落としやすい一手。

例： $y^{'} = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{x y}$ を解く

右辺を $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ と直すと、 $F (u) = \frac{1}{u} + u$ と読めます。

$x \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u} + u - u = \frac{1}{u}$

$u d u = \frac{d x}{x}$ を積分して $\frac{u ^{2}}{2} = lo g ∣ x ∣ + C_{1}$ となる。

$y^{2} = 2 x^{2} (lo g ∣ x ∣ + C)$

$u = y / x$ を戻して両辺に $x^{2}$ を掛けました。右辺の括弧の中が負になる範囲では、実数の解がない。

拡大しても解が解のまま

同次形には、はっきりした幾何的な意味がある。傾きが $y / x$ だけで決まるので、原点を中心に図全体を $k$ 倍しても方向場が変わらない。

そのため 1 本の解曲線を $k$ 倍すると、また別の解曲線になる。解の族は原点中心の相似変換で閉じている。

さきほどの $y = x lo g ∣ x ∣ + C x$ で確かめます。 $(x, y)$ を $(k x, k y)$ へ移すと、定数が $C - lo g k$ に変わっただけの同じ族へ入る。

原点を通る直線が解になる場合

$F (u_{0}) = u_{0}$ を満たす $u_{0}$ があると、 $x d u / d x = F (u) - u$ の右辺が $0$ になる。 $u \equiv u_{0}$ が定数解です。

戻すと $y = u_{0} x$ 、原点を通る直線になる。変数分離で割った先に落ちる定数解が、ここでは直線として現れる^[2]。

$F (u) = u$ が恒等的に成り立つときは、すべての $u$ が定数解。方程式は $y^{'} = y / x$ で、解は原点を通る直線すべてです。

例：定数解を拾う

$y^{'} = \frac{y}{x} - \frac{y ^{2}}{x ^{2}}$ を解きます。 $F (u) = u - u^{2}$ なので $F (u) - u = - u^{2}$ 。

$u = 0$ が定数解で、 $y = 0$ にあたります。 $u \neq = 0$ として分離する。

$- \frac{d u}{u ^{2}} = \frac{d x}{x} ⟹ \frac{1}{u} = lo g ∣ x ∣ + C$

$u = y / x$ を戻すと次が得られる^[2]。

$y = \frac{x}{lo g ∣ x ∣ + C}$

この族に $y = 0$ は入っていない。落とした定数解を別に書き添える。

平行移動で同次形へ持ち込む

分子と分母が 1 次式の分数も、原点をずらせば同次形になる^[3]。

$\frac{d y}{d x} = \frac{a _{1} x + b _{1} y + c _{1}}{a _{2} x + b _{2} y + c _{2}}$

2 本の直線 $a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ と $a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ が 1 点で交わるとします。その交点を $(h, k)$ とする。

$X = x - h$ 、 $Y = y - k$ と置くと定数項が消え、同次形になる。交点へ原点を運ぶ操作です。

2 直線が平行なときはこの手が使えない。かわりに $u = a_{1} x + b_{1} y$ と置くと、変数分離形に落ちる。

例：交点へ原点を移す

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y - 3}{x - y - 1}$ を考えます。2 直線の交点は $x = 2$ 、 $y = 1$ 。

$X = x - 2$ 、 $Y = y - 1$ と置くと、分子は $X + Y$ 、分母は $X - Y$ になる。

$\frac{d Y}{d X} = \frac{X + Y}{X - Y} = \frac{1 + Y / X}{1 - Y / X}$

$u = Y / X$ と置きます。

$X \frac{d u}{d X} = \frac{1 + u}{1 - u} - u = \frac{1 + u ^{2}}{1 - u}$

分離して積分する。左辺は逆正接と対数に分かれます。

$arctan u - \frac{1}{2} lo g (1 + u^{2}) = lo g ∣ X ∣ + C$

$u = Y / X$ 、さらに $X = x - 2$ 、 $Y = y - 1$ を戻せば答えです。陰関数のままで止める。

問題 1：同次関数の次数を答える

次の 3 つについて、同次関数かどうかを判定し、同次なら次数を答えよ。

x^{3} - 2 x y^{2}

。

x^{2} + y^{2}

。

x^{2} + y^{3}

。

解答 1

1 番目は $t$ を代入すると $t^{3} x^{3} - 2 t^{3} x y^{2} = t^{3} f (x, y)$ です。 $3$ 次の同次関数。

2 番目は $t^{2} x^{2} + t^{2} y^{2} = t x^{2} + y^{2}$ となり $1$ 次です。 $t > 0$ としているので絶対値は要らない。

3 番目は $t^{2} x^{2} + t^{3} y^{3}$ で、 $t$ のべきが 2 通り現れます。くくり出せないので同次ではない。

問題 2：基本の同次形

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^{2}$ を解け。

解答 2

$F (u) = u + u^{2}$ なので $F (u) - u = u^{2}$ です。 $u = 0$ 、つまり $y = 0$ が定数解。

$u \neq = 0$ として分離します。

$\frac{d u}{u ^{2}} = \frac{d x}{x} ⟹ - \frac{1}{u} = lo g ∣ x ∣ + C$

$u = y / x$ を戻して整理する。

$y = - \frac{x}{lo g ∣ x ∣ + C}$

定数解 $y = 0$ はこの族に含まれないので、別に書き添えます。

問題 3：分子と分母を見て同次形と気づく

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x - y}$ を解け。

解答 3

分子も分母も 1 次の同次関数なので、比は $0$ 次です。 $u = y / x$ と置きます。

$x \frac{d u}{d x} = \frac{1 + u}{1 - u} - u = \frac{1 + u ^{2}}{1 - u}$

分離して積分する。

$\int \frac{1 - u}{1 + u ^{2}} d u = arctan u - \frac{1}{2} lo g (1 + u^{2})$

したがって $arctan \frac{y}{x} - \frac{1}{2} lo g (1 + \frac{y ^{2}}{x ^{2}}) = lo g ∣ x ∣ + C$ です。

極座標に直すと $θ = lo g r + C^{'}$ となり、対数らせん。同次形の解が原点まわりの相似な形になる例です。

問題 4：初期条件つき

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ^{2}}{x ^{2}} + \frac{y}{x}$ を $y (1) = 2$ のもとで解け。

解答 4

問題 2 と同じ形なので、一般解は $y = - \frac{x}{lo g ∣ x ∣ + C}$ です。

$x = 1$ で $y = 2$ を代入すると $lo g 1 = 0$ より $2 = - \frac{1}{C}$ 、つまり $C = - \frac{1}{2}$ 。

$y = - \frac{x}{lo g x - \frac{1}{2}} = \frac{2 x}{1 - 2 lo g x}$

分母が $0$ になる $x = e$ で発散するので、初期値を含む範囲は $0 < x < e$ になる。

問題 5：平行移動が要る形

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y + 1}{x - y + 3}$ を同次形に直せ。

解答 5

$x + y + 1 = 0$ と $x - y + 3 = 0$ を連立します。足すと $2 x + 4 = 0$ で $x = - 2$ 、代入して $y = 1$ 。

$X = x + 2$ 、 $Y = y - 1$ と置きます。

$x + y + 1 = X + Y, x - y + 3 = X - Y$

もとの方程式は $\frac{d Y}{d X} = \frac{X + Y}{X - Y}$ になり、問題 3 と同じ形。あとは $u = Y / X$ で解けます。

問題 6：平行移動が効かない形

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y + 1}{x + y + 3}$ を解け。

解答 6

2 直線が平行なので、交点がない。平行移動では同次形になりません。

$u = x + y$ と置きます。 $u^{'} = 1 + y^{'}$ なので、次のように書き直せる。

$\frac{d u}{d x} = 1 + \frac{u + 1}{u + 3} = \frac{2 u + 4}{u + 3}$

分離して積分します。左辺の分数は $\frac{u + 3}{2 u + 4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u + 4}$ と分けられる。

$\frac{u}{2} + \frac{1}{2} lo g ∣2 u + 4∣ = x + C$

$u = x + y$ を戻せば答えです。同次形にならない形でも、別の置き換えで分けられる場合がある。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x ^{3} + y ^{3}}{x ^{2} y}$ を同次形として解くとき、 $u = y / x$ と置いた後に得られる式はどれか。

$x \frac{d u}{d x} = u^{2}$
$x \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u}$
$x \frac{d u}{d x} = u + \frac{1}{u}$
$x \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u ^{2}}$

__RESULT__

右辺を $x^{3}$ で割ると $\frac{1 + u ^{3}}{u}$ になります。ここから $u$ を引くと $\frac{1 + u ^{3} - u ^{3}}{u} = \frac{1}{u}$ です。引き算を忘れると 3 番目を選んでしまいます。

よくある誤り

u = y / x

と置いたあと

y^{'} = u^{'}

としてはいけません。

y = ux

なので

y^{'} = u + x u^{'}

です。

F (u)

から

u

を引き忘れると、まったく別の方程式を解くことになります。

最後に

u = y / x

を戻し忘れると、答えが

u

のままで終わります。

F (u) - u = 0

となる

u

で割っているので、原点を通る直線の解が落ちます。

線形方程式の同次と混同すると、判定を誤ります。こちらは右辺が

y / x

の関数かどうかで決まります。

分子と分母の次数が違う場合は同次形になりません。同じ次数であることを先に確かめます。

2 直線が平行なときは平行移動が効きません。

u = a x + b y

と置く別の手に切り替えます。

参考文献

Homogeneous differential equation - Wikipedia（英語）

Ähnlichkeitsdifferentialgleichung - Wikipedia（ドイツ語）

Ecuación diferencial ordinaria - Wikipedia（スペイン語）

Separation of variables - Wikipedia（英語）

右辺が $y/x$ だけで書ける 1 階方程式が同次形です。$u = y/x$ と置くと変数分離形に変わる。ただし $y = ux$ なので $y' = u + xu'$ となり、ここが落とし穴。同次関数の定義から始め、線形方程式でいう同次との違いも整理します。傾きが $y/x$ で決まるため、原点から出る半直線の上では方向場の向きがそろい、解曲線どうしは原点中心の相似変換で移り合う。1 次式の分数を平行移動で同次形へ持ち込む手まで、計算問題つき。