同次形微分方程式

同次形微分方程式は、変数分離形に直接は当てはまらないものの、適切な変数変換によって変数分離形に帰着できる重要なタイプです。

同次形の定義

次の形の微分方程式を同次形といいます。

$\frac{d y}{d x} = F (\frac{y}{x})$

右辺が $y / x$ の関数になっているのが特徴です。より一般には、 $f (t x, t y) = f (x, y)$ を満たす $f (x, y)$ を使って $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ と書けるとき、同次形と呼びます。

解き方

$v = \frac{y}{x}$ （つまり $y = vx$ ）と置換します。両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$

元の方程式に代入すれば、

$v + x \frac{d v}{d x} = F (v)$

整理すると、

$x \frac{d v}{d x} = F (v) - v$

これは $v$ と $x$ の変数分離形になっています。

$\frac{d v}{F ( v ) - v} = \frac{d x}{x}$

両辺を積分し、 $v = y / x$ を戻せば一般解が得られます。

例題

次の微分方程式を解きます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{x}$

右辺を変形すると $1 + \frac{y}{x}$ なので、 $F (v) = 1 + v$ の同次形です。 $v = y / x$ と置くと、

$v + x \frac{d v}{d x} = 1 + v$

したがって、

$x \frac{d v}{d x} = 1$

変数を分離して積分すると、

$v = ln ∣ x ∣ + C$

$v = y / x$ を戻せば、

$y = x (ln ∣ x ∣ + C)$

が一般解です。

変数分離形

$\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$ の形。そのまま分離して積分できる。

同次形

$\frac{d y}{d x} = F (y / x)$ の形。 $v = y / x$ の置換で変数分離形に変換する。

同次形かどうかの判定

$f (x, y)$ について、 $f (t x, t y) = f (x, y)$ が任意の $t$ で成り立つかを確認します。成り立てば同次形です。

たとえば $f (x, y) = \frac{x ^{2} + x y}{y ^{2}}$ は、

$f (t x, t y) = \frac{( t x ) ^{2} + ( t x ) ( t y )}{( t y ) ^{2}} = \frac{t ^{2} ( x ^{2} + x y )}{t ^{2} y ^{2}} = f (x, y)$

となるので同次形です。

同次形でない場合

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b y + c}{d x + ey + f}$ のように定数項がある場合は、直接は同次形になりません。ただし、平行移動 $X = x - α$ , $Y = y - β$ で定数項を消去できる場合があります。この手法については、連立方程式を解いて平行移動量を決定します。