対数関数 $y = \log_a x$ は、指数関数 $y = a^x$ の逆関数です。「$a$ を何乗したら $x$ になるか...

指数関数 $y = a^x$ は、底 $a$ の値によってグラフの形が変わります。基本的な性質を理解しておくと、方程式や不等式の...

三角関数の計算や積分では、特殊な置換を使うと劇的に簡単になることがあります。ここでは代表的な置換テクニックを紹介します。 $t ...

ポアソン積分公式は、円周上で与えられた境界値から円板内部での調和関数を再構成する公式だ。コーシーの積分公式と密接に関連し、調和関...

アダマールの 3 円定理は、同心円上での正則関数の最大値が対数凸であることを主張する。この定理は最大値原理を精密化したもので、関...

点から直線までの距離を求める公式は、図形と方程式の中でも特に重要です。円と直線の位置関係や、三角形の面積計算などで頻繁に使います...

三角関数の最大・最小問題は、三角関数の合成や置換を使って解くことが多いです。パターンを押さえておくと、確実に解けるようになります...

三角関数のグラフは、基本形 $y = \sin x$ や $y = \cos x$ を平行移動・伸縮させることで様々な形に変化し...

座標平面上の直線は、方程式で表すことができます。ここでは直線の方程式の基本形を整理します。 傾きと切片による表現 直線の最も基本...

無限乗積は、整関数や有理型関数を零点情報から構成する強力な道具だ。ワイエルシュトラスの因数分解定理の背景にある無限乗積の収束理論...

多項式は零点で因数分解できる。整関数にも同様の因数分解が存在するが、零点が無限個ある場合には無限積の収束を保証する工夫が必要だ。...

リーマンの写像定理は、複素解析における最も重要かつ美しい定理の一つだ。単連結な領域が位相的にはすべて同じ（単位円板と同相）である...

正規族の理論は、正則関数の列がいつ収束部分列を持つかを調べる枠組みだ。実解析におけるアルツェラ・アスコリの定理の複素解析版とも言...

真性特異点における関数の振る舞いは極めて複雑で、ピカールの定理がその本質を捉えている。この定理は、正則関数が真性特異点の近くでほ...

正則関数の零点は孤立するという性質から、一意性定理（一致の定理）が導かれる。この定理は、正則関数が小さな領域での値だけで全体が決...

シュワルツの補題は、単位円板上の正則関数に対する強力な評価を与える定理だ。見た目は単純だが、等角写像の理論やリーマンの写像定理の...

複素平面 $\mathbb{C}$ に「無限遠点」を一つ付け加えた空間をリーマン球面と呼ぶ。この拡張により、複素解析の多くの定理...

実数の世界では $x^{1/2} = \sqrt{x}$ や $x^{3/4}$ といったべき関数を自然に扱える。複素数に拡張す...

実数の対数関数 $\log x$ は $x > 0$ で定義され、一価関数として振る舞う。しかし複素数に拡張すると、対数関数は本...

複素解析において、べき級数は正則関数を表現する基本的な道具だ。実数のべき級数と同様に、複素数のべき級数にも収束する範囲が存在し、...

正則関数の実部と虚部は、どちらも調和関数になります。逆に、調和関数から正則関数を構成することもできます。 調和関数とは 2 変数...

偏角の原理は、関数の零点と極の個数を積分で数える方法です。ルーシェの定理は、この原理を応用して零点の個数を調べます。 偏角の原理...

メビウス変換（一次分数変換）は、円と直線を円と直線に写す等角写像です。複素解析でよく使われる基本的な変換です。 メビウス変換の形...

正則関数による写像は、角度を保存するという特別な性質を持っています。これを等角写像といいます。 等角写像とは 2 つの曲線が点 ...