完全微分方程式と積分因子

完全微分方程式は、ある関数の全微分がゼロになるという形の方程式です。この形を見抜けば、元の関数（ポテンシャル）を復元するだけで解が得られます。完全でない場合も、積分因子を掛けて完全形に変換できることがあります。

完全微分方程式の形

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

がある関数 $\Phi (x,y)$ の全微分

$$d\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \Phi }{\partial y}dy=0$$

と一致するとき、この方程式を完全微分方程式といいます。解は $\Phi (x,y)=C$（定数）で与えられます。

完全性の判定条件

$Mdx+Ndy=0$ が完全であるための必要十分条件は、

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

です。これは ${\Phi }_{xy}={\Phi }_{yx}$（偏微分の順序交換可能性）から従います。

解き方

完全と判定できたら、$\Phi$ を構成します。

$$\Phi (x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$$

ここで $g(y)$ は $x$ を定数とみなしたときの積分定数（$y$ の関数）です。次に、$\frac{\partial \Phi }{\partial y}=N$ から $g(y)$ を決定します。

例題

$$(2xy+3)dx+(x^2+4y)dy=0$$

$M=2xy+3$, $N=x^2+4y$ として、

$$\frac{\partial M}{\partial y}=2x,\frac{\partial N}{\partial x}=2x$$

一致するので完全です。$\Phi$ を求めます。

$$\Phi =\int (2xy+3)dx=x^{2}y+3x+g(y)$$

$\frac{\partial \Phi }{\partial y}=x^2+g^{\prime }(y)=N=x^2+4y$ より、$g^{\prime }(y)=4y$、したがって $g(y)=2y^2$。

$$\Phi (x,y)=x^{2}y+3x+2y^2$$

一般解は $x^{2}y+3x+2y^2=C$ です。

積分因子による完全化

完全でない方程式 $Mdx+Ndy=0$ に、関数 $\mu (x,y)$ を掛けて

$$\mu Mdx+\mu Ndy=0$$

を完全にできることがあります。この $\mu$ を積分因子といいます。

$\mu$ が $x$ のみの関数の場合、完全性条件から

$$\frac{1}{\mu }\frac{d\mu }{dx}=\frac{1}{N}\left(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\right)$$

右辺が $x$ のみの関数なら、$\mu$ を求められます。$y$ のみの場合も同様です。

例題：積分因子の利用

$$ydx-xdy=0$$

$M=y$, $N=-x$ として、$\frac{\partial M}{\partial y}=1$, $\frac{\partial N}{\partial x}=-1$ で不一致です。

$\mu =1/y^2$ を掛けると、

$$\frac{1}{y}dx-\frac{x}{y^2}dy=0$$

これは $d\left(\frac{x}{y}\right)=0$ と書けるので完全です。解は $\frac{x}{y}=C$、つまり $x=Cy$ です。