素因数分解はなぜ整数の外で壊れるのか？代数的整数論の入口

$x^2+y^2=p$ を満たす整数がある素数はどれか。$\mathbb{Z}$ の中で睨んでいても手が止まりますが、$p=(x+yi)(x-yi)$ と分けてよいことにすると、問題は $\mathbb{Z}[i]$ での素数の割り算に変わります。

$\mathbb{Z}$ を広げ、広げた先で整数論の道具がどこまで残り、どこで壊れるかを調べる。これが代数的整数論という分野です^[1]。

舞台になる環

有理数体 $\mathbb{Q}$ に代数的な数を添えて作った、$\mathbb{Q}$ 上有限次の体を代数体または数体と呼びます。$\mathbb{Q}(i)$、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$、$1$ の $5$ 乗根を添えた $\mathbb{Q}({\zeta }_5)$ がその例。

数体 $K$ の中で $\mathbb{Z}$ の役をつとめる部分が整数環 ${\mathcal{O}}_K$ です。$K$ の元のうち、最高次係数が $1$ の整数係数多項式の根になるものだけを集めます^[2]。

最高次係数が $1$ という条件がすべてを決めています。この条件を外すと $\frac{1}{2}$ も $\frac{1}{3}$ も入ってしまい、$\mathbb{Q}$ そのものに戻ってしまう。付けておけば、有理数のうち残るのは $\mathbb{Z}$ だけです。

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ だけ形が違う点に注意が要ります。$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は $x^2-x-1=0$ の根なので、見た目が分数でも代数的整数。$\sqrt{d}$ を添えれば整数環が $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ になる、とは限りません。

一意分解はすぐ壊れる

$\mathbb{Z}$ で素因数分解が一意に決まることは、証明を要する定理でした。整数環を広げると、この性質はあっさり消えます。

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で $6$ を分けてみる。

$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

$4$ つの因子はどれもこれ以上分解できません。確かめる道具がノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ です。ノルムは積を積に写すので、$\alpha \beta =2$ なら $N(\alpha )N(\beta )=4$ になります。

$N(\alpha )=2$ とすると $a^2+5b^2=2$ が要る。$b=0$ なら $a^2=2$ で解けず、$|b|\ge 1$ なら左辺が $5$ 以上になります。どちらも成り立たないので $N(\alpha )$ は $1$ か $4$、つまり $\alpha$ か $\beta$ が単元です。$2$ は既約になる。

同じ計算を $3$ と $1\pm \sqrt{-5}$ にも当てると、$a^2+5b^2=3$ と $a^2+5b^2=2,3$ が解けないことから既約性が出ます。分解は 2 通りあり、どちらも既約元で止まっている。

既約と素の食い違いが原因です。$\mathbb{Z}$ ではこの 2 つが一致しているので、区別する必要すらありませんでした。

イデアルに持ち上げると戻る

クンマーは 1843 年、フェルマーの最終定理を攻めるなかでこの破綻に突き当たり、理想数という仮想の因子を導入します^[4]。実際の数としては存在しないが、割り切るかどうかだけは決まっている、という奇妙な対象でした。

デデキントはこれを集合として書き直しました。1871 年、ディリクレの整数論講義の第 2 版に付けた補遺が最初の発表です^[3]。理想数のかわりに、環の部分集合であるイデアルを因子として扱う。

$\mathfrak{p}=(2,1+\sqrt{-5})$ を見ます。この集合は $\{2x+(1+\sqrt{-5})y\}=\{a+b\sqrt{-5}\mid a\equiv b(\mathrm{mod}2)\}$ で、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の中で市松模様に並ぶ部分格子です。

図の橙の点だけを集めたものが $\mathfrak{p}$ です。全体の中で密度がちょうど半分、つまり指数が $2$ で、この $2$ が $\mathfrak{p}$ のノルムになります。

$\mathfrak{p}$ を 2 乗すると $(2)$ に戻る。生成元どうしを掛けて確かめられます。

$${\mathfrak{p}}^2=(4,2+2\sqrt{-5},-4+2\sqrt{-5})$$

$3$ つ目から $2$ つ目を引くと $-6$ が出て、$4$ と合わせて $2=6-4$ が ${\mathfrak{p}}^2$ に入ります。逆にどの生成元も $2$ の倍数なので、${\mathfrak{p}}^2=(2)$ です。

同じ要領で $\mathfrak{q}=(3,1+\sqrt{-5})$、$\bar{\mathfrak{q}}=(3,1-\sqrt{-5})$ をとると、$6$ の分解は 1 通りに定まります。

$$(6)={\mathfrak{p}}^2\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}$$

さきほどの 2 通りは、この 4 つの因子を $(2)={\mathfrak{p}}^2$、$(3)=\mathfrak{q}\bar{\mathfrak{q}}$ と束ねるか、$(1+\sqrt{-5})=\mathfrak{pq}$、$(1-\sqrt{-5})=\mathfrak{p}\bar{\mathfrak{q}}$ と束ねるかの違いにすぎません。元の段階では見えなかった因子が、イデアルの段階で見えている。

素数はどう分かれるか

イデアルの言葉が手に入ると、素数 $p$ の振る舞いを分類できます。${\mathcal{O}}_K$ の中で $(p)$ を素イデアルの積に分けたとき、何個に分かれるか、重複があるかを見る。

ガウス整数環では、$4$ で割った余りが答えを決めます。$p\equiv 1$ なら 2 つに分かれ、$p\equiv 3$ なら分かれない。$2$ だけが $(1+i{)}^2$ と重なります。

冒頭の $x^2+y^2=p$ に戻ると、答えが出ています。$p$ が 2 つに分かれるとき、その因子 $x+yi$ のノルムが $x^2+y^2=p$ になる。$4$ で割って $1$ 余る素数が、平方数 2 つの和で書ける素数です。

例：小さい素数を分けてみる

$5=4+1$、$13=9+4$、$17=16+1$。表の左側と右側が、そのまま平方和の表になっています。$3$ と $7$ は $4$ で割って $3$ 余るので、どう頑張っても平方数 2 つの和になりません。

何を測る分野なのか

整数環が $\mathbb{Z}$ からどれだけずれるかを、いくつかの数値でつかまえます。この分野の主題はほぼこの 4 つに集約されます^[1]。

$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ の判別式は $-20$ で、類数は $2$。判別式の約数である $2$ と $5$ だけが分岐し、類数が $1$ でないぶん元の一意分解が崩れます。さきほど見た $6$ の 2 通りの分解は、この類数 $2$ がそのまま姿を現したものです。

素数を分けるという一つの問いから、環の構造、群の構造、解析的な公式までが順につながっていきます。$\mathbb{Z}$ を出た先で何が保たれるかを追う作業が、そのまま整数論の本体になる。

参考