変数分離形

変数分離形は、最も基本的で解きやすい微分方程式の形です。その名の通り、 $x$ と $y$ を左辺と右辺に分離して、それぞれ積分することで解が得られます。

変数分離形の定義

次の形に書ける微分方程式を変数分離形といいます。

$\frac{d y}{d x} = g (x) h (y)$

右辺が「 $x$ だけの関数」と「 $y$ だけの関数」の積になっているのが特徴です。

$h (y) \neq = 0$ のとき、両辺を $h (y)$ で割って整理します。

$\frac{1}{h ( y )} \frac{d y}{d x} = g (x)$

これを形式的に書き換えると、

$\frac{d y}{h ( y )} = g (x) d x$

両辺を積分すれば、

$\int \frac{d y}{h ( y )} = \int g (x) d x + C$

となり、 $y$ について解けば一般解が得られます。

$\frac{d y}{d x} = k y (k は定数)$

変数を分離して、

$\frac{d y}{y} = k d x$

両辺を積分すると、

$ln ∣ y ∣ = k x + C_{1}$

したがって、

$y = C e^{k x} (C = \pm e^{C_{1}})$

これは放射性崩壊や人口増加のモデルに現れる基本的な解です。

$\frac{d y}{d x} = k y (1 - \frac{y}{M})$

$y$ と $(1 - y / M)$ を分離するため、部分分数分解を使います。

$\frac{M}{y ( M - y )} = \frac{1}{y} + \frac{1}{M - y}$

積分を実行すると、

$ln \frac{y}{M - y} = k x + C_{1}$

整理すれば、

$y = \frac{M}{1 + A e ^{- k x}} (A = e^{- C_{1}})$

これがロジスティック曲線で、S字型の成長を表します。

変数分離できる条件

右辺が $g (x) h (y)$ の形に因数分解できること。 $f (x, y) = x + y$ のような形は変数分離できません。

h (y) = 0

となる点

$h (y_{0}) = 0$ のとき、 $y = y_{0}$ は定数解（平衡解）になります。この解は分離の過程で見落としやすいので注意が必要です。

変数分離形は「分けて積分する」という単純明快な方法で解けます。微分方程式に出会ったら、まず変数分離できるかどうかを確認するのが定石です。