常微分方程式と偏微分方程式

微分方程式は、大きく常微分方程式（ODE: Ordinary Differential Equation）と偏微分方程式（PDE: Partial Differential Equation）に分類されます。この区別は、未知関数が1変数か多変数かによって決まります。

常微分方程式

未知関数が1つの独立変数のみに依存する場合、その微分方程式を常微分方程式と呼びます。

$\frac{d y}{d x} = k y, \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + ω^{2} y = 0$

左の式は指数関数的な増減を表し、右の式は単振動を記述します。どちらも未知関数 $y$ は1変数（ $x$ または $t$ ）のみの関数なので、常微分方程式です。

未知関数が複数の独立変数に依存する場合、偏微分方程式となります。

$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

これは熱方程式と呼ばれ、温度 $u (x, t)$ が位置 $x$ と時刻 $t$ の両方に依存しています。偏微分記号 $\partial$ が使われているのが目印です。

常微分方程式（ODE）

独立変数が1つ。 $y (x)$ や $y (t)$ など。通常の微分 $\frac{d}{d x}$ を使う。

偏微分方程式（PDE）

独立変数が複数。 $u (x, t)$ や $ϕ (x, y, z)$ など。偏微分 $\frac{\partial}{\partial x}$ を使う。

物体の自由落下を考えます。位置 $y$ は時刻 $t$ のみの関数なので、運動方程式

$m \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} = - m g$

は常微分方程式です。

一方、弦の振動では、変位 $u$ が位置 $x$ と時刻 $t$ の両方に依存します。

$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$

これは波動方程式と呼ばれる偏微分方程式です。

一般に、常微分方程式から先に学びます。変数が1つなので取り扱いが比較的単純であり、解法の基本的なアイデアを身につけやすいからです。偏微分方程式は、常微分方程式の知識を土台として、フーリエ解析などの追加の道具を用いて学んでいきます。