常微分方程式と偏微分方程式〜変数が 1 つか複数かで何が変わるか

微分方程式は、未知の関数が何個の変数を持つかで 2 つに分かれます。1 個なら常微分方程式、2 個以上なら偏微分方程式^[1,2]。

分け方はこれだけです。ところが、この 1 点の違いから、解の姿も条件の与え方も一般論の厚みも変わってくる。

独立変数の個数で分かれる

常微分方程式では、未知関数が 1 つの変数だけに依存します。導関数は $dy/dx$ のような常微分になる^[1]。

偏微分方程式では、未知関数が複数の変数に依存する。そのため導関数は $\partial u/\partial x$ のような偏微分で書く^[2]。

記号の $d$ と $\partial$ は飾りではありません。ほかの変数を止めて 1 方向だけ動かしたのか、変数が 1 つしかないので止めるものがないのか、その区別を担っています。

例：ばねと弦

おもりをばねにつるすと、位置 $x$ は時刻 $t$ だけの関数です。運動方程式は時刻についての常微分方程式になる。

$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx$$

弦を弾いたときは事情が変わる。変位 $u$ は場所と時刻の両方に依存するので、$u=u(x,t)$ と書くほかない。

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

同じ「振動」でも、点 1 個の運動か、線全体の形の変化かで、方程式の種類が変わる。

任意定数か、任意関数か

ここが両者のいちばん大きな違いです。$n$ 階の常微分方程式の一般解には、任意定数が $n$ 個現れます^[7]。

偏微分方程式では、定数のかわりに任意関数が現れる^[2,5]。自由度が数個ぶんではなく、関数 1 本ぶんに膨らむ。

同じ「解が 1 つに決まらない」でも、余りの大きさが桁違い。条件の与え方が変わる理由もここにある。

例：$u_x=0$ を解く

$u=u(x,y)$ について $\partial u/\partial x=0$ を考えます。$x$ で微分して $0$ になる、という要求。

$y$ を止めて $x$ だけ動かしたとき、$u$ は動かない。つまり $u$ は $x$ に依存せず、$y$ だけの関数です。

$$u(x,y)=f(y)$$

$f$ は任意の（微分可能な）関数です。常微分方程式の $y^{\prime }=0$ なら答えは定数 $C$ でしたが、こちらは関数 1 本ぶん自由になる。

例：$u_{xy}=0$ を解く

続けて $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=0$ を解きます。$u_y$ を $x$ で微分すると $0$ なので、$u_y$ は $y$ だけの関数です。

それを $y$ で積分すると、積分定数は $x$ の関数になる。

$$u(x,y)=f(x)+g(y)$$

2 階なので、任意関数が 2 本。常微分方程式で任意定数が 2 個出るところに対応している。

例：波動方程式の一般解

弦の方程式 $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$ も、任意関数 2 本で書ける。ダランベールの形と呼ばれます。

$$u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$$

$f$ は形を保ったまま右へ、$g$ は左へ動く。速さはどちらも $c$。

波の形そのものを自由に選べるので、自由度は関数 2 本ぶん。定数 2 個とは比べものになりません。

条件の与え方も変わる

常微分方程式では、1 点での値と導関数を並べて指定します。$y(0)$ と $y^{\prime }(0)$ のような初期条件で、定数がちょうど埋まる^[3]。

偏微分方程式で埋めるのは関数なので、点での値では足りない。境界の上や初期時刻の全体で、関数として条件を与えます^[5]。

弦なら、両端が固定されているという境界条件と、はじく直前の形と速度という初期条件。数値ではなく関数の形で渡す。

適切に立っている問題

条件を与えれば解が決まる、とは限りません。アダマールは、次の 3 つが揃った問題を適切であると呼びました^[2,6]。

3 番目が曲者です。条件の測定誤差が解を大きく揺らすなら、その定式化は物理にも数値計算にも使えません。

常微分方程式ではこの 3 つが広い範囲で成り立つ。偏微分方程式では、方程式の型と条件の組み合わせを誤ると簡単に壊れる。

型に合った条件とは、たとえば楕円型に境界値、双曲型に初期値、という組み合わせのこと。とり違えると適切でない問題になる。

一般論の厚みが違う

常微分方程式には、広く通用する存在と一意性の定理があります。$y^{\prime }=f(x,y)$ で $f$ が連続かつ $y$ についてリプシッツなら、局所的に解はただ 1 本^[7]。

線形なら結論はもっと強くなる。係数が連続な区間全体で、解が大域的に存在する。

偏微分方程式には、これに相当する統一的な定理がありません^[2]。楕円型・放物型・双曲型で振る舞いが違いすぎて、型ごとに別々の理論が育ちました。

連立と高階の言いかえ

高階の常微分方程式は、1 階の連立に書き直せます。$y_1=y$、$y_2=y^{\prime }$ と置くだけ^[1]。

$$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }& =y_2\\ y_2^{\prime }& =F(x,y_1,y_2)\end{array}$$

この書き直しのおかげで、1 階の連立系について定理を 1 つ証明すれば、高階の場合も一緒に片付く。

偏微分方程式には、同じ効き目を持つ標準形がありません。1 階に落としても、変数の個数は減らないためです。

例：2 階を 1 階の連立に直す

$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$ を連立に直します。$y_1=y$、$y_2=y^{\prime }$ と置く。

$$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }& =y_2\\ y_2^{\prime }& =-3y_2-2y_1\end{array}$$

右辺が $y_1$ と $y_2$ の 1 次式になりました。行列を使えば ${\mathbf{y}}^{\prime }=A\mathbf{y}$ の形で書けます。

偏微分方程式を常微分方程式へ落とす

両者は無関係ではありません。偏微分方程式を解く定番の手が、常微分方程式へ落とすことです^[4]。

$u(x,t)=X(x)T(t)$ と積の形を仮定して代入すると、変数ごとに分かれた式が現れる。これが変数分離法。

例：熱方程式を 2 本に分ける

$u_t=k{u}_{xx}$ に $u=X(x)T(t)$ を代入します。

$$X{T}^{\prime }=k{X}^{\prime \prime }T$$

両辺を $kXT$ で割ると、左辺は $t$ だけ、右辺は $x$ だけの式になる。

$$\frac{T^{\prime }}{kT}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}$$

$t$ だけの式と $x$ だけの式が等しいのだから、どちらも同じ定数。これを $-\lambda$ と置けば、常微分方程式が 2 本得られます^[6]。

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime }& =-\lambda kT\\ X^{\prime \prime }& =-\lambda X\end{array}$$

偏微分方程式を解いたというより、解ける形に持ち込んだ。落とし先が常微分方程式である以上、常微分方程式の道具は偏微分方程式でも使う。

問題 1：常か偏かを判定する

次の 4 つを、常微分方程式と偏微分方程式に分けよ。

解答 1

1 番目と 3 番目が常微分方程式です。未知関数はそれぞれ $y(x)$ で、変数は 1 個。

2 番目と 4 番目が偏微分方程式になる。未知関数 $u$ は $x$ と $t$、あるいは $x$ と $y$ の 2 変数です。

判定に使うのは未知関数の変数の個数だけ。方程式に $x$ が現れるかどうかは関係ない。

問題 2：任意関数の個数を数える

$u=u(x,y)$ について、$u_{xx}=0$ の一般解を求めよ。

解答 2

$u_x$ を $x$ で微分すると $0$ なので、$u_x$ は $x$ に依存しません。つまり $y$ だけの関数です。

$$u_x=f(y)$$

これを $x$ で積分します。積分定数は $y$ の関数になる。

$$u(x,y)=xf(y)+g(y)$$

任意関数が 2 本現れました。常微分方程式の $y^{\prime \prime }=0$ なら $y=C_{1}x+C_2$ で、定数 2 個。形が対応している。

問題 3：連立へ書き直す

$y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-3y=\cos x$ を 1 階の連立系に書き直せ。

解答 3

$y_1=y$、$y_2=y^{\prime }$、$y_3=y^{\prime \prime }$ と置きます。

$$\begin{array}{rl}{y}_1^{\prime }& =y_2\\ y_2^{\prime }& =y_3\\ y_3^{\prime }& =2y_3-y_2+3y_1+\cos x\end{array}$$

3 階だったので、3 本の連立になりました。最後の 1 本だけがもとの方程式で、あとは置き方から自動的に出る式です。

問題 4：変数分離を試す

$u_t=u_{xx}$ に $u=X(x)T(t)$ を代入し、分離定数を $-\lambda$ として 2 本の常微分方程式を導け。

解答 4

代入すると $X{T}^{\prime }=X^{\prime \prime }T$ です。両辺を $XT$ で割ります。

$$\frac{T^{\prime }}{T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda$$

左辺は $t$ のみ、真ん中は $x$ のみの式なので、両方とも定数に等しい。この定数を $-\lambda$ と置きました。

$$\begin{array}{rl}{T}^{\prime }+\lambda T& =0\\ X^{\prime \prime }+\lambda X& =0\end{array}$$

1 本目は 1 階、2 本目は 2 階の常微分方程式。境界条件を課すと $\lambda$ の値が絞られる。

問題 5：波動方程式の解を確かめる

任意の 2 回微分可能な関数 $f$ について、$u(x,t)=f(x-ct)$ が $u_{tt}=c^2{u}_{xx}$ を満たすことを示せ。

解答 5

$s=x-ct$ と置き、連鎖律を使います。$\partial s/\partial t=-c$、$\partial s/\partial x=1$ です。

$$\begin{array}{rl}{u}_t& =-c{f}^{\prime }(s)\\ u_{tt}& =c^2{f}^{\prime \prime }(s)\end{array}$$

$x$ については $u_x=f^{\prime }(s)$、$u_{xx}=f^{\prime \prime }(s)$ となる。

$$u_{tt}=c^2{f}^{\prime \prime }(s)=c^2{u}_{xx}$$

$f$ の形をどう選んでも成り立ちました。任意関数ぶんの自由度がある、という主張がここで確かめられる。

よくある誤り

参考文献