フェルマーの最終定理の証明にあいた穴 - 正則素数とベルヌーイ数

1847 年 3 月 1 日、ラメはパリ科学アカデミーでフェルマーの最終定理の完全な証明を発表しました^[1]。複素数の範囲で左辺を因数分解する、という筋書きです。

同じ席でリウヴィルが立ち、複素数の世界で素因数分解が一意になることは証明されていない、と指摘します^[1]。この一言が、代数的整数論という分野を開きました。

左辺は完全に分かれる

$p$ を奇素数、$\zeta =e^{2\pi i/p}$ とします。$x^p+y^p$ は $1$ 次式の積に分かれる。

$$x^p+y^p=\prod _{k=0}^{p-1}(x+{\zeta }^{k}y)$$

導き方は短いものです。${\prod }_{k=0}^{p-1}(t-{\zeta }^k)=t^p-1$ の $t$ に $-t$ を入れると、左辺は $(-1{)}^p\prod (t+{\zeta }^k)$、右辺は $-t^p-1$ になります。

$p$ が奇数なので $(-1{)}^p=-1$ で、両辺の符号を払うと $\prod (t+{\zeta }^k)=t^p+1$ です。$t=x/y$ とおいて $y^p$ を掛ければ、上の形になる。

ここから先の筋書きはこうです。$p$ 個の因子がたがいに素だと示し、積が $z^p$ なので各因子が $p$ 乗だと結論する。そこから小さい解を作り、無限降下で矛盾に持ち込む。

$n=3$ でオイラーが 1753 年 8 月 4 日にゴルトバッハへ書き送った証明も、同じ骨格を持っていました^[1]。1770 年の『代数学』で公表した版には、まさに一意分解を仮定した箇所が残っています。

積が $p$ 乗なら各因子も $p$ 乗、という一歩

この推論は $\mathbb{Z}$ では正しい。$ab=z^p$ で $a,b$ が互いに素なら、素因数分解を見比べて各素数の指数が $p$ の倍数だと分かるからです。

素因数分解が一意でなければ、見比べる相手がありません。指数という言葉すら定まらない。

クンマーは 1846 年の時点で、この仮定が実際に破れることを知っていました。$\mathbb{Z}[{\zeta }_{23}]$ が、一意分解の崩れる例として挙がります^[5]。

リウヴィルは 1847 年 5 月 24 日、クンマーからの手紙をアカデミーで読み上げます^[1]。理想複素数によって一意性を回復し、正則素数についてはフェルマーの最終定理が成り立つ、という内容でした。

正則素数という条件

正則の定義は類数で書かれます。奇素数 $p$ が正則であるとは、円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ の類数が $p$ で割り切れないこと^[2]。

類数は計算が重い量なので、そのままでは判定に使えません。クンマーはこれをベルヌーイ数の言葉に翻訳しました^[1]。

$p$ が正則であることと、$B_2,B_4,\dots ,B_{p-3}$ の分子がどれも $p$ で割り切れないことが同値になる。既約分数に直したときの分子を見るだけで済みます。

$p$ が正則なら $x^p+y^p=z^p$ に正の整数解はない^[2]。これがクンマーの定理です。

例：100 未満の非正則素数は 3 つだけ

$(p,\ell )$ を、$\ell$ が偶数で $2\le \ell \le p-3$、かつ $p$ が $B_{\ell }$ の分子を割るような組とします。この組を非正則対と呼びます^[3]。

最初の非正則対は $(37,32)$、$(59,44)$、$(67,58)$ の $3$ つ^[3]。$100$ 未満で非正則な素数は $37$、$59$、$67$ しかありません。

$37$ について確かめてみます。

$$B_{32}=-\frac{7709321041217}{510}$$

分子を $37$ で割ると $208360028141$ で、余りが出ません。$32$ は偶数で $2\le 32\le 34$ の範囲にも入っているので、$(37,32)$ は非正則対です。

正則素数が無限にあるかは、いまも分かっていません^[2]。いっぽう非正則素数が無限にあることは証明されています。判定条件が単純なわりに、そこから先が固い。

第 1 の場合とジェルマン

フェルマーの最終定理は、$p$ が $xyz$ を割らない第 1 の場合と、割る第 2 の場合に分けて扱われてきました。第 1 の場合のほうが軽い。

ソフィー・ジェルマンは補助素数を使う方法を作り、$100$ 未満のすべての $n$ について第 1 の場合を証明します^[1]。1738 年から 1840 年のクンマーまで、これが最終定理に関する最重要の結果でした^[4]。

ジェルマンはガウスとの文通で、はじめ ルブラン という男性名を使っていました^[4]。1806 年にブラウンシュヴァイクが占領されたあと、身元を明かす手紙を書いています。女性の科学者に向く嘲笑を恐れて名を偽っていた、と本人が説明した^[4]。

定理は落ちても道具が残った

ワイルズの証明は円分体でも理想数でもなく、楕円曲線とモジュラー形式を経由します^[1]。クンマーの路線がそのまま完成したわけではない。

それでも失敗の副産物のほうが大きく育ちました。イデアル、類数、単数群、円分体の分岐。どれもこの挑戦のなかで形になった概念です。

余白に書かれた一行が、$350$ 年かけて環と群の理論を生みました。証明されなかった時期のほうが、数学に残したものは多かったことになる。

参考文献