代数的数と代数的整数（代数的整数論）

代数的整数論の基本概念として、代数的数と代数的整数の定義から始めます。この2つは似た名前ですが、異なる概念です。

代数的数の定義

複素数 $α$ が代数的数であるとは、ある整数係数多項式 $f (x) \in Z [x]$ が存在して $f (α) = 0$ を満たすことです。言い換えれば、整数係数の代数方程式の解となる数です。

例えば $2$ は $x^{2} - 2 = 0$ の解なので代数的数であり、 $\frac{3}{5}$ は $5 x - 3 = 0$ の解なので代数的数です。一方、 $π$ や $e$ は代数方程式の解にならないことが知られており、超越数と呼ばれます。

代数的数全体の集合を $\overline{Q}$ と書きます。これは有理数体 $Q$ の代数的閉包です。

代数的数 $α$ が代数的整数であるとは、モニックな整数係数多項式の根になることです。モニックとは最高次係数が $1$ であることを意味します。

代数的数

任意の整数係数多項式の根

代数的整数

モニックな整数係数多項式の根

この違いは重要です。 $\frac{1}{2}$ は $2 x - 1 = 0$ の根なので代数的数ですが、モニックな整数係数多項式の根ではないため代数的整数ではありません。

いくつかの具体例を見てみましょう。

2

$x^{2} - 2 = 0$ の根。モニックな整数係数多項式なので代数的整数。

黄金比

ϕ = \frac{1 + 5}{2}

$x^{2} - x - 1 = 0$ の根。見た目は分数だが代数的整数。

1

の原始

n

乗根

ζ_{n}

$x^{n} - 1 = 0$ を割り切る円分多項式の根。代数的整数。

黄金比の例が示すように、代数的整数は必ずしも「整数っぽい見た目」をしているとは限りません。

有理数 $q \in Q$ が代数的整数であるための条件を考えます。 $q = \frac{a}{b}$ （ $g cd (a, b) = 1$ ）がモニックな整数係数多項式

$x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0} = 0$

の根だとすると、代入して整理すれば $b ∣ a^{n}$ が導かれます。 $g cd (a, b) = 1$ より $b = \pm 1$ となり、 $q$ は整数でなければなりません。

つまり、有理数の中で代数的整数となるのは通常の整数 $Z$ だけです。これは「整数」という名前がついている理由でもあります。

代数的整数全体は環をなします。つまり、代数的整数の和・差・積は再び代数的整数になります。この環を $\overline{Z}$ と書くこともあります。

証明には結果式や終結式を使う方法がありますが、直感的には「モニック多項式の根同士を足したり掛けたりしても、適切なモニック多項式の根になる」と理解できます。