なぜ整数の一般化が必要か｜代数的整数論

通常の整数 $\mathbb{Z}$ では素因数分解の一意性が成り立ちますが、これは決して自明な性質ではありません。整数を少し拡張しただけで、この性質が崩れてしまう例を見てみましょう。

\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] での破綻

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}\mid a,b\in \mathbb{Z}\}$ を考えます。この環で $6$ を分解してみると、

$$6=2\times 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

という2通りの分解が得られます。問題は、$2$、$3$、$1+\sqrt{-5}$、$1-\sqrt{-5}$ がすべてこの環で「素元的」であり、どれも他の積として表せないことです。

ノルムによる確認

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ にはノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ が定義できます。ノルムは積に関して $N(\alpha \beta )=N(\alpha )N(\beta )$ を満たすので、分解の可能性を調べる道具になります。

もし $2=\alpha \beta$ と非自明に分解できるなら、$N(\alpha )N(\beta )=4$ より $N(\alpha )=2$ となる元が必要です。しかし $a^2+5b^2=2$ を満たす整数 $a,b$ は存在しません。よって $2$ はこれ以上分解できません。同様に $3$、$1\pm \sqrt{-5}$ も分解不能であることが確認できます。

クンマーの洞察

19世紀、エルンスト・クンマーはフェルマーの最終定理を証明しようとして円分体を研究しました。そこで素因数分解の一意性が成り立たない例に遭遇し、「理想数」という概念を導入して一意性を回復させようとしました。

クンマーの理想数は後にデデキントによってイデアルとして定式化されます。イデアルを使えば、

$$(6)=(2,1+\sqrt{-5}{)}^2(3,1+\sqrt{-5})(3,1-\sqrt{-5})$$

のように、イデアルとしての素分解が一意に存在するようになります。

一般化の必要性

この例が示すのは、数の世界を広げたときに整数論の基本的な道具立てをそのまま使えなくなるということです。代数的整数論は、イデアルという新しい言葉を導入することで、拡張された世界でも整数論的な議論を可能にしました。

素因数分解の一意性が成り立たない環は「類数が1より大きい」と表現されます。類数とは何か、なぜイデアルで一意性が回復するのかは、代数的整数論の中心的なテーマとなります。