「素因数分解が 2 通り」より深刻な話、最大公約数がそもそも存在しない

$x^2+2=y^3$ を満たす整数を、$\mathbb{Z}$ の中だけで探すと総当たりになります。ところが $\sqrt{-2}$ を足した環まで出ると、左辺が $(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})$ と分かれ、解が $2$ 組しかないことまで示せる。

広げれば解ける。ただし広げた先では、$\mathbb{Z}$ で当たり前だった性質がいくつも落ちます。何を得て何を失うのかを、具体的な計算で見ていきます。

広げると解ける例

$\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]=\{a+b\sqrt{-2}\}$ はユークリッド整域で、一意分解が成り立ちます。単元は $\pm 1$ の $2$ つだけ。

まず $x$ が奇数であることを見ます。$x$ が偶数なら $y^3=x^2+2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ ですが、$y$ が偶数なら $y^3$ は $8$ の倍数、奇数なら $y^3$ も奇数。どちらも $2(\mathrm{mod}4)$ になりません。

次に $x+\sqrt{-2}$ と $x-\sqrt{-2}$ が互いに素であることを見ます。共通の素因子は差 $2\sqrt{-2}=-(\sqrt{-2}{)}^3$ を割るので $\sqrt{-2}$ の同伴に限られる。ところが $\sqrt{-2}\mid x+\sqrt{-2}$ なら $\sqrt{-2}\mid x$ となり、ノルムをとって $2\mid x^2$。$x$ が奇数だったので、これは起こりません。

互いに素な $2$ 数の積が立方数で、単元がすべて立方数なので、それぞれが立方数になります。

$$x+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2}{)}^3=(a^3-6a{b}^2)+(3a^{2}b-2b^3)\sqrt{-2}$$

$\sqrt{-2}$ の係数を比べると $b(3a^2-2b^2)=1$ です。$b=1$ なら $3a^2=3$ で $a=\pm 1$、$b=-1$ なら $3a^2=1$ となって整数解なし。

$x=a^3-6a{b}^2=a(a^2-6)=-5a$ なので $x=\pm 5$、$y^3=27$ より $y=3$ です。$(x,y)=(\pm 5,3)$ の $2$ 組しかない。

単数が無限に増える

$\mathbb{Z}$ の可逆元は $\pm 1$ しかありません。$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ では $1+\sqrt{2}$ が可逆で、$(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})=1$ が成り立ちます。

この元のべきが無限に並ぶ。そしてそれが、そのままペル方程式 $x^2-2y^2=1$ の解の一覧になります^[3]。

$(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$ が最小の解 $(3,2)$ を与え、以降は $2$ 乗するたびに次の解が出ます^[3]。$(17,12)$、$(99,70)$、$(577,408)$ と続く。

無限に解があることも、その全部が $1$ つの元のべきで書けることも、$\mathbb{Z}$ の中を見ているだけでは出てきません。単数が増えたぶんの利益です。

失うもの

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ に移ると景色が変わります。$6$ の分解が $2$ 通りある。

$$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ で確かめます。$a^2+5b^2$ の値は $0,1,4,5,6,9,\dots$ と並び、$2$ も $3$ も現れない。だから $N(\alpha )=2$ や $3$ の元がなく、$2$、$3$、$1\pm \sqrt{-5}$ はどれも既約です。

分解が $2$ 通りある、という言い方だと「たまたま」に聞こえます。もっと決定的な壊れ方があります。

最大公約数が存在しない

$6$ と $2+2\sqrt{-5}$ をとります。この $2$ 数には最大公約数がありません。存在しないことを示せる^[2]。

$2$ と $1+\sqrt{-5}$ は、どちらも両方を割ります。$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$ で、$2+2\sqrt{-5}=2(1+\sqrt{-5})$ だからです。

最大公約数 $d$ があったとします。$d$ は $6$ を割るので $N(d)\mid 36$、$2+2\sqrt{-5}$ を割るので $N(d)\mid 24$。よって $N(d)\mid 12$ です。

いっぽう $d$ は $2$ と $1+\sqrt{-5}$ の両方で割り切れる必要があるので、$4\mid N(d)$ かつ $6\mid N(d)$。合わせると $12\mid N(d)$ となり、$N(d)=12$ に決まります。

ところが $a^2+5b^2=12$ は解けません。$b=0$ なら $a^2=12$、$b=\pm 1$ なら $a^2=7$、$|b|\ge 2$ なら左辺が $20$ 以上。$N(d)=12$ の元がないので、$d$ は存在しない。

一意分解が成り立つ環では、任意の $2$ 元に最大公約数があります^[2]。対偶をとれば、最大公約数のない組があるだけで一意分解は否定される。

$2$ 通りの分解は現象で、公約数の欠落が原因です。$\mathbb{Z}$ の互除法もベズーの等式も、この時点で使えなくなっています。

既約と素がずれる

崩れた場所をもう一段しぼると、$2$ つの言葉の食い違いに行き着きます。

$2$ は $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=6$ を割ります。しかし $\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$ も $\frac{1-\sqrt{-5}}{2}$ も環の元ではない。既約なのに素でない元が、ここに立っています。

$\mathbb{Z}$ ではこの $2$ つが一致するので、区別する場面がありませんでした。広げたことで初めて分かれた。

理想数という迂回

クンマーは円分体 $\mathbb{Q}({\zeta }_p)$ の整数環 $\mathbb{Z}[{\zeta }_p]$ でこの破綻に出会い、1847 年と 1851 年の論文で理想数を導入します^[1]。実際の元としては環にないが、割り切るかどうかだけは判定できる仮想の因子です。

うまい仕掛けは、割り切る回数の決め方でした。素数 $q$ を割る理想数を、$F_p(X)$ を $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ 上で因数分解したときの既約因子と 1 対 1 に対応させる^[1]。多項式の因数分解に翻訳してしまえば、存在しない数でも計算ができる。

デデキントはこれを集合に置き換えます。理想数で割り切れる元をすべて集めた部分集合を、その理想数の代わりに使う^[1]。さきほどの $6$ と $2+2\sqrt{-5}$ なら、公約数の集まりとして $(2,1+\sqrt{-5})$ が現れ、これが失われていた因子の正体です。

得たものは解ける方程式の広さ、失ったものは割り算の道具立て。この収支を合わせるために、数の代わりに集合を因子として扱う道が選ばれました。

出典