ベルヌーイの微分方程式

ベルヌーイの微分方程式は、一見すると非線形ですが、適切な変数変換によって1階線形微分方程式に帰着できます。この手法は、非線形方程式を線形化するという重要なアイデアを示しています。

ベルヌーイ方程式の形

次の形の微分方程式をベルヌーイの微分方程式といいます。

$\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x) y^{n}$

右辺に $y^{n}$ （ $n \neq = 0, 1$ ）があるため、線形ではありません。 $n = 0$ なら1階線形、 $n = 1$ なら変数分離形になるので、これらは除外します。

$z = y^{1 - n}$ と置換します。両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{d z}{d x} = (1 - n) y^{- n} \frac{d y}{d x}$

元の方程式の両辺を $y^{n}$ で割ると、

$y^{- n} \frac{d y}{d x} + P (x) y^{1 - n} = Q (x)$

$z = y^{1 - n}$ と $\frac{d z}{d x} = (1 - n) y^{- n} \frac{d y}{d x}$ を代入すれば、

$\frac{1}{1 - n} \frac{d z}{d x} + P (x) z = Q (x)$

整理すると、

$\frac{d z}{d x} + (1 - n) P (x) z = (1 - n) Q (x)$

これは $z$ についての1階線形微分方程式です。

$\frac{d y}{d x} + y = y^{2}$

$n = 2$ なので、 $z = y^{1 - 2} = y^{- 1}$ と置きます。

$\frac{d z}{d x} = - y^{- 2} \frac{d y}{d x}$

元の方程式を $y^{2}$ で割ると、

$y^{- 2} \frac{d y}{d x} + y^{- 1} = 1$

$z = y^{- 1}$ を代入して、

$- \frac{d z}{d x} + z = 1$

つまり、

$\frac{d z}{d x} - z = - 1$

これは1階線形なので、積分因子 $μ = e^{- x}$ を使って解けます。

$\frac{d}{d x} [e^{- x} z] = - e^{- x}$

積分すると、

$e^{- x} z = e^{- x} + C$

したがって $z = 1 + C e^{x}$ 、つまり、

$y = \frac{1}{1 + C e ^{x}}$

置換

z = y^{1 - n}

の覚え方

$y^{n}$ の項を消すために、 $y$ を「 $1 - n$ 乗」します。これにより $y^{n} \cdot y^{1 - n} = y$ となり、線形の項だけが残ります。

n = 2

の特別な場合

$z = 1/ y$ という置換になり、リッカチ方程式との関連が生まれます。

ロジスティック方程式

$\frac{d y}{d x} = ry (1 - \frac{y}{K})$

を展開すると、

$\frac{d y}{d x} - ry = - \frac{r}{K} y^{2}$

これは $n = 2$ のベルヌーイ方程式です。 $z = 1/ y$ の置換で1階線形に帰着し、ロジスティック曲線の一般解を導出できます。

ベルヌーイの微分方程式は、非線形を線形に変換するという技法の典型例であり、他の非線形方程式へのアプローチのヒントにもなります。