共分散と相関係数は、2 つの変数の関係の強さと方向を表す指標です。実際のデータを使って計算手順を確認しましょう。 例題 1：共分...

距離空間において、コンパクト性は全有界性と完備性という2つの条件に分解されます。この分解は解析学で重要な役割を果たします。 全有...

統計学の基礎となる平均、分散、標準偏差の計算方法を、具体的なデータを使って練習します。公式を覚えるだけでなく、実際に手を動かして...

分散分析（ANOVA: Analysis of Variance）は、3 つ以上の群の平均を同時に比較する手法です。t 検定を繰...

重回帰分析は、複数の説明変数から目的変数を予測する統計手法です。単回帰の自然な拡張であり、現実のデータ分析で広く用いられています...

単回帰分析は、一つの説明変数から目的変数を予測する統計手法です。二つの変数の間の線形関係をモデル化し、その関係の強さや予測精度を...

母分散の検定は、母集団の分散が特定の値であるかどうか、または二つの母集団の分散が等しいかどうかを判断する手法です。正規母集団を仮...

母平均の検定は、母集団の平均が特定の値であるかどうかを判断する手法です。母分散が既知の場合は z 検定、未知の場合は t 検定を...

尤度比検定は、二つの仮説のもとでの尤度の比に基づいて検定を行う方法です。最尤推定と密接に関連しており、多くの古典的な検定が尤度比...

検出力は、対立仮説が正しいときに帰無仮説を正しく棄却できる確率です。検定の「効果を見つける能力」を表す指標であり、研究計画におい...

仮説検定では、判断を誤る可能性が常に存在します。誤りには二つの種類があり、それぞれ第一種の過誤と第二種の過誤と呼ばれます。この二...

仮説検定は、データに基づいて仮説の妥当性を判断する統計的手法です。「偶然では説明しにくい結果が得られたかどうか」を確率的に評価す...

チェビシェフの不等式は、確率変数が期待値から大きく逸脱する確率の上界を与える不等式です。分布の具体的な形状を仮定せずに成り立つた...

中心極限定理は、多数の独立な確率変数の和が正規分布に近づくことを述べる定理です。正規分布がなぜこれほど普遍的に現れるのかを説明す...

大数の法則は、標本平均が標本数を増やすにつれて母平均に近づくことを保証する定理です。確率論の基礎をなす最も重要な結果の一つであり...

F 分布は、二つの分散の比を検定する際に現れる分布です。分散分析や回帰分析において重要な役割を果たします。 F 分布の定義 $U...

t 分布（スチューデントの t 分布）は、母分散が未知の場合に母平均を推定する際に現れる分布です。正規分布に似た釣鐘型ですが、裾...

カイ二乗分布は、正規分布に従う確率変数の二乗和として現れる分布です。統計的推測、特に分散の推定や適合度検定において中心的な役割を...

ガンマ分布とベータ分布は、統計学において広く用いられる連続確率分布です。ガンマ分布は指数分布の一般化であり、ベータ分布は区間 $...

標準正規分布は正規分布の中でも特に重要な分布で、平均 0、分散 1 の正規分布を指します。任意の正規分布は標準化という操作によっ...

正規分布（ガウス分布）は統計学において最も重要な連続確率分布です。自然界や社会現象における多くのデータが正規分布に従うことが知ら...

無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \...

無限等比級数とは、等比数列の無限個の項の和である。 \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ...

数学的帰納法のさまざまな応用例を見ていく。 例題1：不等式の証明 $n \geq 1$ のとき $2^n > n$ を証明せよ。...