逆数にすると等間隔になる数列、調和数列と調和平均

各項の逆数を並べると等差数列になる。そういう数列を調和数列といいます^[1]。

$$\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},\dots \text{が等差数列}$$

いちばん有名なのは $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ です。逆数をとると $1,2,3,4,\dots$ になり、公差 $1$ の等差数列に変わります。

もとの並びは間隔がどんどん詰まっていくのに、逆数の側では等間隔。この見え方の違いが調和数列の特徴です。

逆数の世界では等間隔

次の図は、上に調和数列を、下にその逆数を並べたものです。

調和数列を直接あつかう公式はありません。逆数にして等差数列の公式を使い、最後にまた逆数へ戻す。手順はこれだけです。

一般項

$\frac{1}{a_n}$ が初項 $\frac{1}{a_1}$、公差 $d$ の等差数列だとします^[1]。

$$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+(n-1)d$$

両辺の逆数をとれば、もとの数列の一般項が出ます。

$$a_n=\frac{1}{\frac{1}{a_1}+(n-1)d}$$

分母が $0$ になる $n$ があると、その項は定まりません。調和数列を考えるときは、分母が $0$ にならない範囲に限ります。

例題 1：もっとも基本の形

$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ の一般項を求めます。

逆数は $1,2,3,4,\dots$ で、初項 $1$、公差 $1$ の等差数列です。

$$\frac{1}{a_n}=1+(n-1)\cdot 1=n⟹a_n=\frac{1}{n}$$

例題 2：公差が 1 でない場合

$\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},\frac{1}{11},\dots$ の第 $10$ 項を求めます。

逆数は $2,5,8,11,\dots$ で、初項 $2$、公差 $3$ の等差数列。

$$\frac{1}{a_n}=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$$

よって $a_n=\frac{1}{3n-1}$ で、第 $10$ 項は $\frac{1}{29}$ です。

分母だけを見て等差数列だと気づけるかどうか。そこが問題を解く分かれ目になります。

例題 3：項が分数でない調和数列

$6,3,2,\frac{3}{2},\dots$ を調べます。

逆数は $\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3}$ です。通分すると $\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6},\frac{4}{6}$ となり、公差 $\frac{1}{6}$ の等差数列になっています。

$$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{6}+(n-1)\cdot \frac{1}{6}=\frac{n}{6}⟹a_n=\frac{6}{n}$$

見た目が整数でも調和数列のことがあります。逆数をとるまで判断できません。

調和平均

2 数 $a$、$b$ の調和平均は次で定めます^[2]。

$$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$$

逆数の平均をとって、また逆数に戻した値です。定義の形がそのまま調和数列と対応しています。

調和数列では、連続する 3 項 $a_{n-1}$、$a_n$、$a_{n+1}$ について、真ん中が両隣の調和平均になります^[1][3]。調和という名前は、この性質から来ています^[3]。

3 つの平均の大小

正の数 $a$、$b$ について、3 種類の平均には決まった順序があります^[2]。

$$H\le G\le A,G=\sqrt{ab},A=\frac{a+b}{2}$$

等号が成り立つのは $a=b$ のときだけです。2 数の場合には $H=\frac{G^2}{A}$ という関係もあります^[2]。

調和平均は小さいほうの数に近づきます。$2$ と $8$ なら $3.2$ で、真ん中の $5$ よりずっと $2$ 寄りです。

例題 4：速さの平均

行きは時速 $60$ km、帰りは時速 $40$ km で同じ道を往復しました。往復の平均の速さを求めます。

$50$ km/h としたくなりますが、これは誤りです。距離を $d$ とすると、かかる時間は $\frac{d}{60}+\frac{d}{40}$、進んだ距離は $2d$ です。

$$\frac{2d}{\frac{d}{60}+\frac{d}{40}}=\frac{2}{\frac{1}{60}+\frac{1}{40}}=\frac{2\cdot 60\cdot 40}{60+40}=48$$

答えは時速 $48$ km。調和平均の式そのものが出てきました。

遅いほうに時間を多く使うので、平均は遅い側へ寄ります。調和平均が小さいほうに近い、という性質がここに効いています。

和を求めるのは難しい

等差数列や等比数列には和の公式があります。調和数列にはありません。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$$

この和は、$n$ の簡単な式では書けません。しかも $n$ を大きくすると、ゆっくりではあるものの、いくらでも大きくなります。

理由は項をまとめると見えます。$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$ は $\frac{1}{2}$ より大きく、$\frac{1}{5}$ から $\frac{1}{8}$ までの 4 項も $\frac{1}{2}$ より大きい。$\frac{1}{2}$ をいくらでも足せるので、和は限りなく大きくなります。

一般項が $0$ に近づくのに和が発散する。この意外さが、調和数列がよく話題になる理由です。

練習問題

参考文献