調和数列の定義と性質

各項の逆数が等差数列をなす数列を調和数列という。

数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ が調和数列であるとは、

$\frac{1}{a _{1}}, \frac{1}{a _{2}}, \frac{1}{a _{3}}, \dots$

が等差数列であることをいう。

一般項

$\frac{1}{a _{n}}$ が初項 $\frac{1}{a _{1}}$ 、公差 $d$ の等差数列なら、

$\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{1}} + (n - 1) d$

よって

$a_{n} = \frac{1}{\frac{1}{a _{1}} + ( n - 1 ) d}$

調和数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ の一般項を求めよ。

逆数をとると $1, 2, 3, 4, \dots$ で、初項1、公差1の等差数列。

$\frac{1}{a _{n}} = n \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{n}$

2数 $a$ , $b$ の調和平均は

$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}$

で定義される。調和数列では、連続する3項 $a_{n - 1}$ , $a_{n}$ , $a_{n + 1}$ について、 $a_{n}$ は $a_{n - 1}$ と $a_{n + 1}$ の調和平均になる。

調和数列の名は音楽に由来する。弦の長さが $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ のとき、生じる振動数が等差数列をなし、調和のとれた音程を生む。