逆数にすると等間隔になる数列、調和数列と調和平均

各項の逆数を並べると等差数列になる。そういう数列を調和数列といいます^[1]。

$\frac{1}{a _{1}}, \frac{1}{a _{2}}, \frac{1}{a _{3}}, \dots が等差数列$

いちばん有名なのは $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ です。逆数をとると $1, 2, 3, 4, \dots$ になり、公差 $1$ の等差数列に変わります。

もとの並びは間隔がどんどん詰まっていくのに、逆数の側では等間隔。この見え方の違いが調和数列の特徴です。

逆数の世界では等間隔

次の図は、上に調和数列を、下にその逆数を並べたものです。

調和数列を直接あつかう公式はありません。逆数にして等差数列の公式を使い、最後にまた逆数へ戻す。手順はこれだけです。

一般項

$\frac{1}{a _{n}}$ が初項 $\frac{1}{a _{1}}$ 、公差 $d$ の等差数列だとします^[1]。

$\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{1}} + (n - 1) d$

両辺の逆数をとれば、もとの数列の一般項が出ます。

$a_{n} = \frac{1}{\frac{1}{a _{1}} + ( n - 1 ) d}$

分母が $0$ になる $n$ があると、その項は定まりません。調和数列を考えるときは、分母が $0$ にならない範囲に限ります。

例題 1：もっとも基本の形

$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ の一般項を求めます。

逆数は $1, 2, 3, 4, \dots$ で、初項 $1$ 、公差 $1$ の等差数列です。

$\frac{1}{a _{n}} = 1 + (n - 1) \cdot 1 = n ⟹ a_{n} = \frac{1}{n}$

例題 2：公差が 1 でない場合

$\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{11}, \dots$ の第 $10$ 項を求めます。

逆数は $2, 5, 8, 11, \dots$ で、初項 $2$ 、公差 $3$ の等差数列。

$\frac{1}{a _{n}} = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 1$

よって $a_{n} = \frac{1}{3 n - 1}$ で、第 $10$ 項は $\frac{1}{29}$ です。

分母だけを見て等差数列だと気づけるかどうか。そこが問題を解く分かれ目になります。

例題 3：項が分数でない調和数列

$6, 3, 2, \frac{3}{2}, \dots$ を調べます。

逆数は $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ です。通分すると $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}$ となり、公差 $\frac{1}{6}$ の等差数列になっています。

$\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{6} + (n - 1) \cdot \frac{1}{6} = \frac{n}{6} ⟹ a_{n} = \frac{6}{n}$

見た目が整数でも調和数列のことがあります。逆数をとるまで判断できません。

調和平均

2 数 $a$ 、 $b$ の調和平均は次で定めます^[2]。

$H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}$

逆数の平均をとって、また逆数に戻した値です。定義の形がそのまま調和数列と対応しています。

調和数列では、連続する 3 項 $a_{n - 1}$ 、 $a_{n}$ 、 $a_{n + 1}$ について、真ん中が両隣の調和平均になります^[1]^[3]。調和という名前は、この性質から来ています^[3]。

3 つの平均の大小

正の数 $a$ 、 $b$ について、3 種類の平均には決まった順序があります^[2]。

$H \leq G \leq A, G = ab, A = \frac{a + b}{2}$

等号が成り立つのは $a = b$ のときだけです。2 数の場合には $H = \frac{G ^{2}}{A}$ という関係もあります^[2]。

調和平均は小さいほうの数に近づきます。 $2$ と $8$ なら $3.2$ で、真ん中の $5$ よりずっと $2$ 寄りです。

例題 4：速さの平均

行きは時速 $60$ km、帰りは時速 $40$ km で同じ道を往復しました。往復の平均の速さを求めます。

$50$ km/h としたくなりますが、これは誤りです。距離を $d$ とすると、かかる時間は $\frac{d}{60} + \frac{d}{40}$ 、進んだ距離は $2 d$ です。

$\frac{2 d}{\frac{d}{60} + \frac{d}{40}} = \frac{2}{\frac{1}{60} + \frac{1}{40}} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = 48$

答えは時速 $48$ km。調和平均の式そのものが出てきました。

遅いほうに時間を多く使うので、平均は遅い側へ寄ります。調和平均が小さいほうに近い、という性質がここに効いています。

和を求めるのは難しい

等差数列や等比数列には和の公式があります。調和数列にはありません。

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$

この和は、 $n$ の簡単な式では書けません。しかも $n$ を大きくすると、ゆっくりではあるものの、いくらでも大きくなります。

理由は項をまとめると見えます。 $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ は $\frac{1}{2}$ より大きく、 $\frac{1}{5}$ から $\frac{1}{8}$ までの 4 項も $\frac{1}{2}$ より大きい。 $\frac{1}{2}$ をいくらでも足せるので、和は限りなく大きくなります。

一般項が $0$ に近づくのに和が発散する。この意外さが、調和数列がよく話題になる理由です。

練習問題

$\frac{1}{3}, \frac{1}{7}, \frac{1}{11}, \dots$ の第 $6$ 項はどれですか。

$\frac{1}{19}$
$\frac{1}{23}$
$\frac{1}{27}$
$\frac{1}{31}$

__RESULT__

逆数は $3, 7, 11, \dots$ で公差 $4$ の等差数列です。第 6 項の逆数は $3 + 5 \cdot 4 = 23$ なので、答えは $\frac{1}{23}$ になります。

$4$ と $12$ の調和平均はいくつですか。

$8$
$6$
$48$
$4.8$

__RESULT__

$\frac{2 \cdot 4 \cdot 12}{4 + 12} = \frac{96}{16} = 6$ です。相加平均の $8$ 、幾何平均の $48 \approx 6.93$ より小さくなっています。

参考文献

Harmonic progression (mathematics) - Wikipedia)

Harmonic mean - Wikipedia

Harmonische Reihe - Wikipedia（ドイツ語）

1, 1/2, 1/3, 1/4 は左へ詰まっていく並びですが、逆数をとると 1, 2, 3, 4 という等差数列に変わります。調和数列を解く手順は、逆数にして等差数列の公式を使い、また逆数へ戻すだけ。連続する 3 項の真ん中が両隣の調和平均になることが名前の由来で、往復の平均の速さが時速 50 km にならない理由もここにあります。和が発散する話まで扱います。