階差型漸化式（aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 型）

漸化式 $a_{n + 1} = a_{n} + f (n)$ の形を階差型という。 $f (n)$ は $n$ の関数である。

解法

$a_{n + 1} - a_{n} = f (n)$ より、 $n \geq 2$ のとき

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 f (k)$

$\sum f (k)$ を計算すれば一般項が求まる。 $n = 1$ のときは別途確認する。

$a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ を解け。

$a_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 2 k = 1 + 2 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} = 1 + n (n - 1) = n^{2} - n + 1$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 1$ で成立。

$a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = a_{n} + 3^{n}$ を解け。

$a_{n} = 2 + k = 1 \sum n - 1 3^{k} = 2 + \frac{3 ( 3 ^{n - 1} - 1 )}{3 - 1} = 2 + \frac{3 ^{n} - 3}{2} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2$ で成立。

$a_{1} = 0$ , $a_{n + 1} = a_{n} + n^{2}$ を解け。

$a_{n} = k = 1 \sum n - 1 k^{2} = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 0$ で成立。

階差型漸化式を解いた後、 $n = 1$ での検証を忘れないこと。和の公式は $n \geq 2$ を前提としているため、 $n = 1$ で式が成立するかを別途確認する必要がある。