階差型漸化式（aₙ₊₁ = aₙ + f(n) 型）

漸化式 $a_{n+1}=a_n+f(n)$ の形を階差型という。$f(n)$ は $n$ の関数である。

解法

$a_{n+1}-a_n=f(n)$ より、$n\ge 2$ のとき

$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)$$

$\sum f(k)$ を計算すれば一般項が求まる。$n=1$ のときは別途確認する。

例題1

$a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2n$ を解け。

$$a_n=1+\sum _{k=1}^{n-1}2k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$$

$n=1$ のとき $a_1=1$ で成立。

例題2

$a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+3^n$ を解け。

$$a_n=2+\sum _{k=1}^{n-1}{3}^k=2+\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=2+\frac{3^n-3}{2}=\frac{3^n+1}{2}$$

$n=1$ のとき $a_1=2$ で成立。

例題3

$a_1=0$, $a_{n+1}=a_n+n^2$ を解け。

$$a_n=\sum _{k=1}^{n-1}{k}^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$$

$n=1$ のとき $a_1=0$ で成立。

注意点

階差型漸化式を解いた後、$n=1$ での検証を忘れないこと。和の公式は $n\ge 2$ を前提としているため、$n=1$ で式が成立するかを別途確認する必要がある。