中心と頂点 1 つから残りを回して決める〜複素数と正多角形

正 $n$ 角形は、中心のまわりに $\frac{2\pi }{n}$ ずつ回すと自分に重なります。だから中心と頂点 1 つが分かれば、残りの頂点は回転で決まる。

中心を $\alpha$、1 つの頂点を $z_0$ とすると、$k$ 番目の頂点は次の形になります。

$$z_k=\alpha +(z_0-\alpha )\left(\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\right)$$

$z_0-\alpha$ で中心を原点へ寄せ、回して、$\alpha$ を足して戻す。中心が原点でない回転の式を、$k$ 回ぶん当てた形です。

例：正方形

中心が $\alpha =1+i$、頂点の 1 つが $z_0=4+i$ とします。$n=4$ だから回す角は $\frac{\pi }{2}$ ずつ。かける数は $i$ です。

$$z_0-\alpha =(4+i)-(1+i)=3$$

$3$ に $i$ をかけ足していきます。

4 つの頂点を足して $4$ で割ると $\frac{(4+1-2+1)+(1+4+1-2)i}{4}=1+i$。中心に戻りました。

例：正三角形

中心が原点、頂点の 1 つが $2$ のとき。$n=3$ なので $\frac{2}{3}\pi$ ずつ回します。

$$\cos \frac{2}{3}\pi +i\sin \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

$2$ にかけて $-1+\sqrt{3}i$。もう一度かけると $-1-\sqrt{3}i$ になります。

3 頂点は $2$、$-1+\sqrt{3}i$、$-1-\sqrt{3}i$。足すと $0$ で、重心が中心の原点に一致しています。

例：正六角形

中心が原点、頂点の 1 つが $2$ で $n=6$ なら、回す角は $\frac{\pi }{3}$。

1 つ飛ばしに $2$、$-1+\sqrt{3}i$、$-1-\sqrt{3}i$ を拾うと、さきほどの正三角形。$6$ 等分の点から $3$ 等分が拾える関係が、頂点の一覧にそのまま現れています。

2 頂点から正三角形の残り 1 つ

正三角形の 2 頂点 $\alpha$、$\beta$ が分かっているとき、残りは $\alpha$ を中心に $\beta$ を $60$ 度回した点。

$$\gamma =\alpha +(\beta -\alpha )\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$$

回す向きが 2 つあるので、答えも 2 つ。$-\frac{\pi }{3}$ で回すと、辺 $\alpha \beta$ をはさんで反対側の点になります。

$\alpha =1$、$\beta =3$ で計算します。$\beta -\alpha =2$。

$$\begin{array}{rl}\gamma & =1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ & =1+1+\sqrt{3}i\\ & =2+\sqrt{3}i\end{array}$$

逆回りなら $2-\sqrt{3}i$。どちらも $\alpha$ からの距離が $|1+\sqrt{3}i|=2$、$\beta$ からの距離が $|-1+\sqrt{3}i|=2$ で、辺の長さがそろっています。

中心と 1 つの頂点、または辺の 2 頂点。どちらから始めても、同じ角ずつ回した点を並べれば正多角形がそろいます。