回転移動で正多角形の頂点を求める

正多角形の頂点は、1つの頂点を中心や他の頂点のまわりに回転させることで求められる。

原点中心の正 n 角形

原点中心、半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形で、1つの頂点が $z_0$ にあるとき、他の頂点は

$$z_k=z_0\cdot {\zeta }_n^k(k=0,1,\dots ,n-1)$$

で与えられる。ここで ${\zeta }_n=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$。

例題1

原点中心で1つの頂点が $2$ にある正方形の4頂点を求めよ。

${\zeta }_4=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$ なので、

$$z_0=2,z_1=2i,z_2=-2,z_3=-2i$$

例題2

$z_1=0$, $z_2=2$ を2頂点とする正三角形の第3の頂点を求めよ。

$z_1$ を中心に $z_2$ を $\pm 60°$ 回転させる。

$$z_3=(z_2-z_1)\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)+z_1=2\cdot \frac{1+\sqrt{3}i}{2}=1+\sqrt{3}i$$

または $-60°$ 回転で $z_3=1-\sqrt{3}i$。正三角形は2つできる。

例題3

$z_1=1$, $z_2=3+2i$ を隣り合う2頂点とする正方形の残り2頂点を求めよ。

$z_1$ を中心に $z_2$ を $\pm 90°$ 回転させて $z_4$ を求める。$z_2-z_1=2+2i$ なので、

$+90°$ 回転：$(2+2i)\cdot i=-2+2i$、よって $z_4=1+(-2+2i)=-1+2i$

$z_3$ は $z_2$ を中心に $z_1$ を $\mp 90°$ 回転させて、

$-90°$ 回転：$(-2-2i)\cdot (-i)=-2+2i$、よって $z_3=(3+2i)+(-2+2i)=1+4i$

答えは $z_3=1+4i$, $z_4=-1+2i$（または対称な位置）。

例題4

$z_1=0$, $z_2=1$ を2頂点とする正六角形で、残りの4頂点を求めよ。

正六角形の中心角は $60°$。中心を求めてから各頂点を $60°$ ずつ回転させて求める。