群数列の考え方と計算

数列をいくつかの組（群）に分けて考える問題を群数列という。

たとえば、$1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|\dots$ のように、第 $n$ 群に $n$ 個の項が入る形が典型的である。

基本的な考え方

群数列の問題では、以下を順に求める。

例題1

自然数を $1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|\dots$ と分ける。第 $n$ 群の最初の項を求めよ。

第 $n$ 群の最初の項は、第1群から第 $(n-1)$ 群までの項数の合計に1を足したもの。

第1群から第 $(n-1)$ 群までの項数は $1+2+\cdots +(n-1)=\frac{(n-1)n}{2}$。

よって第 $n$ 群の最初の項は $\frac{(n-1)n}{2}+1=\frac{n^2-n+2}{2}$。

例題2

同じ群数列で、100は第何群の何番目か。

第 $n$ 群の最後の項は $\frac{n(n+1)}{2}$。$\frac{n(n+1)}{2}\ge 100$ を解くと $n\ge 14$（$n=13$ のとき91、$n=14$ のとき105）。

よって100は第14群にある。第14群の最初は $\frac{13\cdot 14}{2}+1=92$。

$100-92+1=9$ より、第14群の9番目。

例題3

奇数を $1|3,5|7,9,11|\dots$ と分ける。第 $n$ 群の和を求めよ。

第 $n$ 群の最初の奇数は $n^2-n+1$ 番目の奇数なので $2(n^2-n+1)-1=2n^2-2n+1$。

第 $n$ 群は初項 $2n^2-2n+1$、公差2、項数 $n$ の等差数列。

$$S_n=\frac{n\{2(2n^2-2n+1)+(n-1)\cdot 2\}}{2}=n^3$$