群数列は区切りの位置さえ押さえれば解ける

数列を区切って、いくつかの組に分けたものを群数列といいます。

$$1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|\dots$$

第 $n$ 群に $n$ 個ずつ入る形が代表的です。もとの並びは自然数のままなのに、区切りを入れた瞬間に別の問題になります。

解く鍵はいつも同じで、区切りの位置を数で押さえることです。区切りさえ分かれば、あとは等差数列や等比数列の計算に落ちます。

三角形に並べて見る

群を縦に積むと、三角形になります。第 $n$ 群が $n$ 行目です。

各行の左端が、その群の最初の項です。行の長さが 1 ずつ伸びるので、第 $n$ 群までの項数の合計は三角数になります^[1]。

$$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

解く手順

群数列の問題は、次の順で押さえると迷いません。

3 番目までが準備で、4 番目が本番です。準備を飛ばして群の中に入ろうとすると、必ず途中で分からなくなります。

例題 1：第 n 群の最初の項

$1|2,3|4,5,6|\dots$ で、第 $n$ 群の最初の項を求めます。

第 $1$ 群から第 $n-1$ 群までの項数は $\frac{(n-1)n}{2}$ 個です。数列が自然数そのものなので、最初の項はその次の数になります。

$$\frac{(n-1)n}{2}+1=\frac{n^2-n+2}{2}$$

$n=4$ で確かめます。$\frac{16-4+2}{2}=7$ となり、第 4 群が $7,8,9,10$ で始まることと合います。

例題 2：ある数の居場所

同じ群数列で、$100$ は第何群の何番目かを求めます。

第 $n$ 群の最後の項は $\frac{n(n+1)}{2}$ です。これが $100$ 以上になる最小の $n$ を探します。

$$\frac{13\cdot 14}{2}=91,\frac{14\cdot 15}{2}=105$$

$91<100\le 105$ なので、$100$ は第 $14$ 群にあります。第 $14$ 群の最初は $92$ です。

$$100-92+1=9$$

第 $14$ 群の $9$ 番目。最後に $1$ を足すのを忘れると、$1$ つずれます。

例題 3：奇数の群数列

奇数を $1|3,5|7,9,11|\dots$ と分け、第 $n$ 群の和を求めます。

第 $n$ 群の最初は、$\frac{n(n-1)}{2}+1$ 番目の奇数です。$m$ 番目の奇数は $2m-1$ なので、

$$2\left(\frac{n(n-1)}{2}+1\right)-1=n^2-n+1$$

第 $n$ 群は、初項 $n^2-n+1$、公差 $2$、項数 $n$ の等差数列になります。

$$S=\frac{n\{2(n^2-n+1)+(n-1)\cdot 2\}}{2}=\frac{n\cdot 2n^2}{2}=n^3$$

和が立方数になりました。$1,8,27,64,\dots$ と並びます。

例題 4：項数が 2 倍ずつ増える群

$1|2,3|4,5,6,7|8,\dots ,15|\dots$ のように、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個入る場合を考えます。

第 $n-1$ 群までの項数は、等比数列の和です。

$$1+2+4+\cdots +2^{n-2}=2^{n-1}-1$$

自然数の列なので、第 $n$ 群の最初の項は $2^{n-1}$ です。第 $5$ 群なら $16$ から始まります。

区切りの数え方が三角数から等比数列の和に変わるだけで、手順そのものは同じです。

例題 5：分数の群数列

次の並びで、$\frac{5}{9}$ が第何項かを求めます。

$$\frac{1}{1}|\frac{1}{2},\frac{2}{2}|\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3}|\dots$$

第 $n$ 群は分母が $n$ で、分子が $1$ から $n$ まで動きます。よって $\frac{5}{9}$ は第 $9$ 群の $5$ 番目です。

第 $8$ 群までの項数は $\frac{8\cdot 9}{2}=36$ 個。

$$36+5=41$$

第 $41$ 項と分かりました。群の番号と群の中の位置さえ出せば、通し番号はすぐ計算できます。

例題 6：群の和の合計

例題 3 の奇数の群数列で、第 $1$ 群から第 $n$ 群までの和をすべて足します。

各群の和が $k^3$ なので、求めるのは立方数の和です。

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$

$n=3$ なら $1+8+27=36$ で、公式の ${\left(\frac{3\cdot 4}{2}\right)}^2=36$ と一致します。

群ごとの和を求めておくと、その先の合計にも $\Sigma$ の公式がそのまま使えます^[2]。

練習問題

参考文献