分数型の漸化式の解き方〜両辺の逆数をとって等差や等比に直す

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ の右辺は分数で、等差の形にも等比の形にも当てはまりません。両辺の逆数をとってみる。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$

$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ と置けば $b_{n + 1} = b_{n} + 2$ で、公差 $2$ の等差数列。分数型の漸化式は、この置きかえで知っている型へ移します。

分数の漸化式

両辺の逆数をとる

b の漸化式を解く

もう一度逆数にして a に戻す

逆数の側では点が一直線に並ぶ

$a_{1} = 1$ で始めると、数列は $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}$ と続く。値が $0$ のほうへ詰まっていくため、次にどれだけ減るのかを目で追えません。

逆数を並べると $1, 3, 5, 7, 9$ で、隣どうしの差はどこも $2$ 。

横軸はどちらも $n$ で、縦軸だけを取り替えてあります。 $a_{n}$ のままでは曲がっている並びが、 $\frac{1}{a _{n}}$ にすると直線に乗る。

例：等差数列になる形

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ を解きます。

逆数をとった式は $\frac{1}{a _{n + 1}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$ でした。 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ と置く。

$b_{1} = 1, b_{n + 1} = b_{n} + 2$

初項 $1$ 、公差 $2$ の等差数列だから $b_{n} = 2 n - 1$ 。逆数に戻すと一般項が決まる。

$a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$

$n = 2$ で確かめます。漸化式では $\frac{1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1}{3}$ 、一般項でも $\frac{1}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{1}{3}$ と、同じ値。

例：特性方程式まで使う形

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{3 a _{n} + 2}$ を解く。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{3 a _{n} + 2}{a _{n}} = 3 + \frac{2}{a _{n}}$

$b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ と置いた式は $b_{n + 1} = 2 b_{n} + 3$ です。 $b_{n}$ に $2$ がかかっているため、今度は等差数列にならない。

特性方程式 $x = 2 x + 3$ を解くと $x = - 3$ 。

$b_{n + 1} + 3 b_{n} + 3 b_{n} + 3 = 2 (b_{n} + 3) = (b_{1} + 3) \cdot 2^{n - 1} = 4 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n + 1}$

$b_{n} = 2^{n + 1} - 3, a_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1} - 3}$

$n = 1$ なら $\frac{1}{4 - 3} = 1$ 、 $n = 2$ なら $\frac{1}{8 - 3} = \frac{1}{5}$ 。漸化式をたどった値と合っています。

逆数をとった先が等差になるか等比が絡むかは、もとの分母の係数で決まる。置きかえて知っている型へ移す、という進め方はどちらでも変わりません。

例：分子に係数がある形

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{2 a _{n}}{a _{n} + 3}$ を解きます。分子に $2$ がついていても、逆数をとる手順は変わらない。

$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{a _{n} + 3}{2 a _{n}} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a _{n}}$

$b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n} + \frac{1}{2}$ で、 $b_{1} = 1$ 。特性方程式 $x = \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ から $x = - 1$ 。

$b_{n} + 1 b_{n} + 1 = (b_{1} + 1) (\frac{3}{2})^{n - 1} = 2 (\frac{3}{2})^{n - 1} = \frac{2 \cdot 3 ^{n - 1}}{2 ^{n - 1}}$

分母をそろえて $b_{n}$ の形にする。

$b_{n} = \frac{2 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}{2 ^{n - 1}}, a_{n} = \frac{2 ^{n - 1}}{2 \cdot 3 ^{n - 1} - 2 ^{n - 1}}$

$n = 3$ で確かめます。一般項からは $\frac{2 ^{2}}{2 \cdot 3 ^{2} - 2 ^{2}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$ 。

漸化式のほうは $a_{2} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{1}{2}$ から続けます。

$a_{3} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + 3} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$

一般項と同じ値に落ちつきました。

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{4 a _{n} + 1}$ の一般項はどれですか。

$a_{n} = \frac{1}{4 n}$
$a_{n} = \frac{1}{4 n - 3}$
$a_{n} = \frac{1}{4 n + 1}$
$a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$

__RESULT__

逆数をとると $b_{n + 1} = b_{n} + 4$ 、 $b_{1} = 1$ なので $b_{n} = 4 n - 3$ です。 $n = 2$ で $\frac{1}{5}$ となり、漸化式をたどった値と一致します。

逆数をとる前に確かめること

$0$ では割れないため、すべての項が $0$ でないことを先に示します。ここを飛ばすと、途中で成り立たなくなる可能性を残したまま進むことになる。

最初の例で確かめる。 $a_{1} = 1 > 0$ で、 $a_{n} > 0$ なら分母の $2 a_{n} + 1$ も正だから $a_{n + 1} > 0$ 。

すべての $n$ で $a_{n} > 0$ だから、逆数はいつでもとれます。同じ議論がほかの例でもそのまま通る。

答案では「数学的帰納法により $a_{n} > 0$ 、よって逆数をとれる」と一言添えてから変形に入ります。

どの形なら逆数が効くか

分子が $a_{n}$ の定数倍で、分母が $a_{n}$ の 1 次式。この形なら逆数が効きます。

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{p a _{n} + q}$	逆数をとると 1 次の漸化式になる
$a_{n + 1} = \frac{r a _{n}}{p a _{n} + q}$	逆数をとると 1 次の漸化式になる
$a_{n + 1} = \frac{p a _{n} + q}{r a _{n} + s}$	逆数だけでは片づかない

3 番目は分子に定数項があるため、逆数をとっても $\frac{1}{a _{n}}$ の 1 次式になりません。 $x = \frac{p x + q}{r x + s}$ を満たす $x$ を求め、 $a_{n} - x$ の逆数を考えるといった、もう一段の工夫がいる。

高校で出るのは 1 番目と 2 番目がほとんど。分子が $a_{n}$ の定数倍なら、逆数をとる方針で進められます。

分数型の漸化式で、逆数をとる前に確かめるのはどれですか。

$a_{n}$ が整数であること
$a_{n}$ が $0$ でないこと
数列が単調に減ること
分母が $1$ より大きいこと

__RESULT__

$0$ で割れないので、すべての項が $0$ でないことを先に示します。初項の符号と漸化式の形から、数学的帰納法で確かめるのがふつうです。

分数のまま眺めても規則は見えず、逆数にすると等差か $p b_{n} + q$ の形かに落ちます。分数型の漸化式を見たら、まず両辺をひっくり返してみる。

$a_{n+1} = \dfrac{a_n}{2a_n+1}$ の両辺をひっくり返すと $\dfrac{1}{a_{n+1}} = 2 + \dfrac{1}{a_n}$ になり、$b_n = \dfrac{1}{a_n}$ が公差 $2$ の等差数列に変わります。$1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}$ という読みにくい並びも、逆数の側では $1, 3, 5, 7$ と等間隔。分母の係数しだいで $b_{n+1} = 2b_n + 3$ のように特性方程式まで使う形にもなる。分子に係数がついた場合の計算と、逆数をとる前に $a_n \ne 0$ を示しておく手順まで。