数列は「番号を入れると数が出てくる箱」（一般項と 3 通りの表し方）

数列とは、番号のついた数の並びです。1 番目、2 番目、3 番目と順に数が決まっていく。

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$

$n$ 番目の数を第 $n$ 項、 $a_{n}$ と書きます。数学の言い方をすると、自然数の集合から数への対応が数列です^[1]^[2]。

並びの全体をひとまとめに ${a_{n}}$ と書きます。 ${a_{n}}$ は数列そのもの、 $a_{n}$ はその $n$ 番目の数、という使い分けです。

番号を入れると数が出てくる

数列は関数によく似ています。違うのは、入力が自然数に限られる点だけ。

$a_{n} = 2 n + 1$ という数列なら、 $n$ に $1, 2, 3$ を入れると $3, 5, 7$ が出ます。番号を入れると数が返る箱、と思えば十分です。

番号のほうは必ず 1 つずつ進みます。 $1.5$ 番目の項はありません。ここが実数を入れる関数との違いです。

一般項

$a_{n}$ を $n$ の式で表したものを一般項といいます。一般項が分かれば、何番目でも一発で計算できる。

第 $100$ 項を知りたいとき、 $a_{n} = 2 n + 1$ なら $a_{100} = 201$ とすぐ出ます。 $100$ 個ぶん足し算をする必要はありません。

一般項を求める、というのが数列の問題の中心です。この先で習う公式は、ほとんどが一般項を出すための道具になります。

3 通りの表し方

同じ数列でも、書き方は 1 つではありません^[1]^[3]^[4]。

書き並べる	$3, 5, 7, 9, 11, \dots$
一般項で表す	$a_{n} = 2 n + 1$
漸化式で表す	$a_{1} = 3$ 、 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$

書き並べる方法は、規則がひと目で見えるかわりに、第 $100$ 項が分かりません。

漸化式は、前の項から次の項を作る規則です^[3]。1 つずつたどれば必ず答えに届きますが、 $100$ 番目までは $99$ 回の計算が要ります。

一般項がいちばん強い。ただし、いつでも簡単に求まるわけではありません。

例題 1：一般項から項を書き出す

$a_{n} = n^{2} - 3 n$ の第 1 項から第 5 項までを求めます。

$n$ に順に代入するだけです。

$a_{1} = 1 - 3 = - 2, a_{2} = 4 - 6 = - 2, a_{3} = 9 - 9 = 0$

$a_{4} = 16 - 12 = 4, a_{5} = 25 - 15 = 10$

並びは $- 2, - 2, 0, 4, 10$ です。第 1 項と第 2 項が同じ値になりました。項の値がぶつかっても、数列としては別の項です。

例題 2：並びから一般項を見つける

次の 4 つの数列の一般項を求めます。

$2, 4, 6, 8, \dots$	$a_{n} = 2 n$
$1, 4, 9, 16, \dots$	$a_{n} = n^{2}$
$1, 3, 5, 7, \dots$	$a_{n} = 2 n - 1$
$2, 4, 8, 16, \dots$	$a_{n} = 2^{n}$

見つけ方にはこつがあります。まず差をとってみる。 $2, 4, 6, 8$ なら差がずっと $2$ なので、 $2 n$ に定数を足した形だと当たりがつきます。

差が一定でないときは比をとります。 $2, 4, 8, 16$ は比が $2$ なので、 $2$ のべき乗の形です。

差も比も一定でない $1, 4, 9, 16$ は、平方数だと気づけば早い。うまくいかないときは、差の数列をもう一度調べます。

例題 3：番号のずれ

$1, 4, 9, 16, \dots$ の一般項を $a_{n} = n^{2}$ としました。ではこの数列を第 0 項から始めるとどうなるか。

$a_{0} = 1, a_{1} = 4, a_{2} = 9$ と番号を振り直すなら、一般項は $a_{n} = (n + 1)^{2}$ に変わります。

数列そのものは同じでも、番号の振り方で式が変わる。問題文が「初項」と呼んでいるものが第 1 項なのか第 0 項なのかは、いつも確かめます^[1]。

高校の教科書では第 1 項から始めるのがふつうです。コンピュータの世界では $0$ から数えることが多く、フィボナッチ数列の定義でも $a_{0} = 0$ と置く流儀があります^[2]。

例題 4：ある項が何番目か

$a_{n} = 3 n - 1$ の中に $59$ という項があるか調べます。

$3 n - 1 = 59 ⟹ 3 n = 60 ⟹ n = 20$

$n = 20$ は自然数なので、 $59$ は第 $20$ 項です。

同じ数列に $50$ はあるか。 $3 n - 1 = 50$ から $n = 17$ になりますが、これは $3 n = 51$ より $n = 17$ で自然数です。よって $50$ も第 $17$ 項として現れます。

$52$ ではどうか。 $3 n = 53$ となり $n$ が整数になりません。この数列に $52$ は現れない、と結論できます。

有限数列と無限数列

項が途中で終わる数列を有限数列、いつまでも続く数列を無限数列といいます。

有限数列では、最後の項を末項と呼び、項の個数を項数といいます。 $3, 5, 7, 9, 11$ なら初項 $3$ 、末項 $11$ 、項数 $5$ です。

項数を数えるときに 1 つずれやすい。第 $m$ 項から第 $n$ 項までの項数は $n - m + 1$ 個です。 $m$ から $n$ までの差ではなく、両端を含めた個数になります。

練習問題

$a_{n} = n^{2} - 5 n + 7$ の第 3 項はいくつですか。

$- 1$
$1$
$3$
$7$

__RESULT__

$n = 3$ を代入すると $9 - 15 + 7 = 1$ です。符号の計算でつまずきやすいところなので、順に足していくと確実になります。

数列 $5, 8, 11, 14, \dots$ の一般項として正しいものはどれですか。

$a_{n} = 3 n$
$a_{n} = 3 n + 2$
$a_{n} = 5 n - 3$
$a_{n} = n + 4$

__RESULT__

差が $3$ なので $3 n$ に近い形です。 $n = 1$ で $5$ になるように調整すると $3 n + 2$ になります。候補が出たら第 1 項と第 2 項で必ず検算します。

参考文献

Sequence - Wikipedia

Folge (Mathematik) - Wikipedia（ドイツ語）)

Recurrence relation - Wikipedia

Paul's Online Math Notes, *Calculus II: Sequences*, Lamar University

数列は番号のついた数の並びで、番号を入れると数が返る点で関数によく似ています。違うのは入力が自然数だけということ。書き並べる・一般項で表す・漸化式で表すという 3 通りの書き方を見比べ、並びから一般項を見つける手順、番号を 0 から始めたときの式のずれ、ある数がその数列に現れるかの調べ方まで、例題と練習問題で確かめます。