1 の n 乗根が正 n 角形の頂点に並ぶ理由｜高校数学の複素数

$z^n=1$ を満たす複素数を、$1$ の $n$ 乗根といいます。実数の範囲だと $n$ が奇数なら $1$ つ、偶数なら $\pm 1$ の $2$ つしかありませんが、複素数まで広げるとちょうど $n$ 個そろう。

極形式に置きかえて解く

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$（$r>0$）とおきます。左辺は角を $n$ 倍して長さを $n$ 乗した形になる。

$$r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )=1$$

右辺の $1$ も極形式で書くと $1\cdot (\cos 0+i\sin 0)$。絶対値どうしを比べて $r^n=1$ で、$r$ は正の実数だから $r=1$。

偏角のほうは $2\pi$ ずらすぶんの自由があるため、$n\theta$ が $0$ ちょうどである必要はありません。

$$n\theta =2k\pi (k\text{ は整数}),\theta =\frac{2k\pi }{n}$$

$k$ を $0$ から $n-1$ まで動かすと $n$ 個の角が並びます。$k=n$ にすると $\theta =2\pi$ で $k=0$ と同じ点に戻るため、新しい解は増えません。

$$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$

単位円を $n$ 等分した点

$n$ 個の解はどれも絶対値が $1$ で、角だけが $\frac{2\pi }{n}$ ずつずれています。単位円の上に等間隔で並び、結ぶと正 $n$ 角形になる^[1]。

$k=0$ の解はいつも $1$ で、これは実軸との交点。$n$ が偶数なら $k=\frac{n}{2}$ のところに $-1$ が来ます。

1 つ見つければ、残りはその累乗

$k=1$ の解を $\zeta$ とおきます。

$$\zeta =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$$

$\zeta$ を $k$ 乗すると角が $k$ 倍になるため、${\zeta }^k$ がちょうど $k$ 番目の解。$n$ 個の解は次のように並びます。

$$1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{n-1}$$

$\zeta$ をかける操作は $\frac{2\pi }{n}$ の回転にあたるので、$1$ から始めて頂点を 1 つずつ進むことになる。$n$ 回まわると ${\zeta }^n=1$ で出発点へ戻ります。

例：$z^3=1$

$\theta =0,\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi$ の 3 つ。

3 点を結ぶと正三角形。虚数の 2 つはたがいに共役で、実軸をはさんで向かい合っています。

例：$z^4=1$

$\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ ずつ進み、$1$、$i$、$-1$、$-i$ の 4 つ。$\zeta =i$ をかけるたびに $90$ 度回るという見方と、そのまま重なります。

因数分解でも同じ答えに着きます。

$$z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z-1)(z+1)(z^2+1)$$

$z^2+1=0$ から $z=\pm i$。

例：$z^6=1$

$\theta$ は $60$ 度ずつ。

$k=0,2,4$ の 3 つを抜き出すと、$z^3=1$ の解と同じ顔ぶれ。$6$ 等分の点を 1 つ飛ばしに読むと $3$ 等分になるからです。

全部足すと $0$ になる

$n\ge 2$ なら、$n$ 個の解の和は $0$。

$$1+\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^{n-1}=0$$

等比数列の和として書けば、初項 $1$、公比 $\zeta$、項数 $n$。$\zeta \ne 1$ だから公式が使えます。

$$\frac{{\zeta }^n-1}{\zeta -1}=\frac{1-1}{\zeta -1}=0$$

図で読むこともできる。$n$ 個の点は正 $n$ 角形の頂点で、その重心は中心の原点。頂点の和を $n$ で割ったものが重心だから、和のほうも $0$。

$z^4=1$ で確かめると $1+i-1-i=0$。$z^3=1$ なら $1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$。

実数係数の方程式として見る

$z^n-1$ は実数係数のため、虚数解は共役の組で現れます。${\zeta }^k$ の共役は ${\zeta }^{n-k}$ で、単位円の上では実軸をはさんで向かい合う点。

$n$ が奇数なら、実数の解は $1$ だけ。残る $n-1$ 個が $\frac{n-1}{2}$ 組の共役に分かれます。$n$ が偶数なら $-1$ も加わり、虚数解は $n-2$ 個。

参考文献

$1$ から $\frac{2\pi }{n}$ ずつ回った $n$ 個の点。角を $n$ 等分するという操作が、そのまま解の一覧になっています。