1の n 乗根の一般公式と性質

$z^{n} = 1$ を満たす複素数 $z$ を1の $n$ 乗根という。1の $n$ 乗根は複素数平面上で正 $n$ 角形の頂点を成す。

一般公式

方程式 $z^{n} = 1$ の解は、ド・モアブルの定理より

$z_{k} = cos \frac{2 kπ}{n} + i sin \frac{2 kπ}{n} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$

の $n$ 個である。これらは単位円上に等間隔で並ぶ。

$ζ_{n} = cos \frac{2 π}{n} + i sin \frac{2 π}{n}$ とおくと、1の $n$ 乗根は $1, ζ_{n}, ζ_{n}^{2}, \dots, ζ_{n}^{n - 1}$ と表せる。 $ζ_{n}$ を1の原始 $n$ 乗根という。

1の $n$ 乗根の和は0になる。

$1 + ζ_{n} + ζ_{n}^{2} + \dots + ζ_{n}^{n - 1} = 0$

これは等比級数の公式から導ける。 $ζ_{n} \neq = 1$ なので、

$\frac{1 - ζ _{n}^{n}}{1 - ζ _{n}} = \frac{1 - 1}{1 - ζ _{n}} = 0$

また、1の $n$ 乗根の積は $(- 1)^{n - 1}$ となる。