1の n 乗根の一般公式と性質

$z^n=1$ を満たす複素数 $z$ を1の $n$ 乗根という。1の $n$ 乗根は複素数平面上で正 $n$ 角形の頂点を成す。

一般公式

方程式 $z^n=1$ の解は、ド・モアブルの定理より

$$z_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}(k=0,1,2,\dots ,n-1)$$

の $n$ 個である。これらは単位円上に等間隔で並ぶ。

${\zeta }_n=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とおくと、1の $n$ 乗根は $1,{\zeta }_n,{\zeta }_n^2,\dots ,{\zeta }_n^{n-1}$ と表せる。${\zeta }_n$ を1の原始 $n$ 乗根という。

具体例

1の n 乗根の性質

1の $n$ 乗根の和は0になる。

$$1+{\zeta }_n+{\zeta }_n^2+\cdots +{\zeta }_n^{n-1}=0$$

これは等比級数の公式から導ける。${\zeta }_n\ne 1$ なので、

$$\frac{1-{\zeta }_n^n}{1-{\zeta }_n}=\frac{1-1}{1-{\zeta }_n}=0$$

また、1の $n$ 乗根の積は $(-1{)}^{n-1}$ となる。