複素数の等式から実部・虚部を求める

複素数の相等条件「 $a + bi = c + d i \Leftrightarrow a = c$ かつ $b = d$ 」を使い、未知数を求める問題のパターンを見ていく。

例題1

実数 $x, y$ が $(2 + 3 i) x + (1 - i) y = 7 + i$ を満たすとき、 $x, y$ を求めよ。

左辺を整理すると、

$(2 x + y) + (3 x - y) i = 7 + i$

相等条件より、

$2 x + y = 7, 3 x - y = 1$

連立方程式を解いて $x = \frac{8}{5}$ , $y = \frac{19}{5}$ 。

$(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ を満たす $z$ を求めよ。

$z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおくと、

$(1 + 2 i) (x + y i) = (x - 2 y) + (2 x + y) i = 3 - 4 i$

相等条件より $x - 2 y = 3$ , $2 x + y = - 4$ 。解くと $x = - 1$ , $y = - 2$ 。

よって $z = - 1 - 2 i$ 。

別解として、 $z = \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i}$ を直接計算してもよい。

$z + \overset{z}{ˉ} = 4$ , $z \overset{z}{ˉ} = 5$ を満たす $z$ を求めよ。

$z = x + y i$ とおくと、 $z + \overset{z}{ˉ} = 2 x = 4$ より $x = 2$ 。

$z \overset{z}{ˉ} = x^{2} + y^{2} = 5$ より $y^{2} = 1$ 、つまり $y = \pm 1$ 。

よって $z = 2 + i$ または $z = 2 - i$ 。

$z^{2} = 3 + 4 i$ を満たす $z$ を求めよ。

$z = x + y i$ とおくと、 $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i = 3 + 4 i$ 。

相等条件より $x^{2} - y^{2} = 3$ , $2 x y = 4$ 。 $x y = 2$ より $y = 2/ x$ を代入して整理すると、 $x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$ 。

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$ より $x^{2} = 4$ （実数条件より）。 $x = 2$ なら $y = 1$ 、 $x = - 2$ なら $y = - 1$ 。

よって $z = 2 + i$ または $z = - 2 - i$ 。