複素数の等式から実部と虚部を決める（x + yi と置くか、共役を使うか）

$z$ についての等式から $z$ を決めるとき、進み方は 2 つあります。

$z$ の 2 乗が入っていれば前者、$\overline{z}$ が入っているだけなら後者が短く済むことが多い。

置きかえて連立する

$2z+\overline{z}=6+i$ を解きます。$z=x+yi$（$x$、$y$ は実数）とおく。

$$2(x+yi)+(x-yi)=3x+yi$$

$2yi$ から $yi$ を引いて $yi$ が残り、実部は $2x+x=3x$。右辺と比べます。

$$3x=6,y=1$$

$x=2$、$y=1$ で $z=2+i$。もとの式に入れると $2(2+i)+(2-i)=4+2i+2-i=6+i$ になります。

共役をとってもう 1 本並べる

$z+2\overline{z}=9-i$ を、置きかえずに解いてみます。両辺の共役をとる。

$$\overline{z}+2z=9+i$$

共役は和とかけ算をまたいでも形を変えず、実数の $2$ はそのまま、$\overline{\overline{z}}=z$ に戻ります。$9-i$ の共役は $9+i$。

2 本を並べます。

$$\begin{array}{rl}z+2\overline{z}& =9-i\\ 2z+\overline{z}& =9+i\end{array}$$

下の式を $2$ 倍して上を引くと、$\overline{z}$ が消える。

$$4z+2\overline{z}-(z+2\overline{z})=2(9+i)-(9-i)$$

左辺は $3z$、右辺は $18+2i-9+i=9+3i$。$z=3+i$ です。

$z+2\overline{z}=(3+i)+2(3-i)=3+i+6-2i=9-i$。合っています。

例：$(1+2i)z+3\overline{z}=5+5i$

こんどは置きかえの道で進みます。$z=x+yi$ を入れて展開する。

$$\begin{array}{rl}(1+2i)(x+yi)+3(x-yi)& =x+yi+2xi+2y{i}^2+3x-3yi\\ & =(4x-2y)+(2x-2y)i\end{array}$$

$2y{i}^2$ が $-2y$ になって実部へ回り、実部は $x-2y+3x=4x-2y$。虚部は $y+2x-3y=2x-2y$。

$$4x-2y=5,2x-2y=5$$

引くと $2x=0$ で $x=0$。$-2y=5$ から $y=-\frac{5}{2}$ になります。

$$z=-\frac{5}{2}i$$

純虚数でした。代入して確かめると $(1+2i)\left(-\frac{5}{2}i\right)+3\times \frac{5}{2}i=-\frac{5}{2}i+5+\frac{15}{2}i=5+5i$。

共役から実部と虚部を拾う

$z+\overline{z}=2a$、$z-\overline{z}=2bi$ を割り算の形に直すと、実部と虚部を式で書けます。

$$a=\frac{z+\overline{z}}{2},b=\frac{z-\overline{z}}{2i}$$

虚部のほうは $2i$ で割るところが目印。$2$ で割ると $bi$ になり、実数の虚部にはなりません。

$z=4-3i$ で試します。$z+\overline{z}=8$ を $2$ で割って実部は $4$。$z-\overline{z}=-6i$ を $2i$ で割って $-3$ が虚部。

例：$z=\frac{(1+i{)}^3}{2-i}$ の実部と虚部

分子を先に片づけます。$(1+i{)}^2=2i$ だから、$(1+i{)}^3=(1+i)\times 2i=2i+2i^2=-2+2i$。

分母を実数化する。

$$\begin{array}{rl}\frac{-2+2i}{2-i}& =\frac{(-2+2i)(2+i)}{4+1}\\ & =\frac{-4-2i+4i+2i^2}{5}\\ & =\frac{-6+2i}{5}\end{array}$$

実部が $-\frac{6}{5}$、虚部が $\frac{2}{5}$ です。$\frac{2}{5}i$ ではなく $\frac{2}{5}$ のほうが虚部。

例：実部が $3$ で、$z^2$ が純虚数になる $z$

実部が決まっているため $z=3+yi$（$y$ は実数）とおきます。

$$z^2=9+6yi+y^2{i}^2=(9-y^2)+6yi$$

純虚数になるのは実部が $0$ で虚部が $0$ でないとき。$9-y^2=0$ から $y=\pm 3$ で、$6y\ne 0$ も満たしています。

$z=3+3i$ と $z=3-3i$。前者を $2$ 乗すると $9+18i-9=18i$ で、たしかに純虚数になりました。

例：$z=1+i$ のとき $z^3-2z^2+z$

$z^2=2i$、$z^3=(1+i)\times 2i=-2+2i$ を先に用意します。

$$\begin{array}{rl}{z}^3-2z^2+z& =(-2+2i)-4i+(1+i)\\ & =(-2+1)+(2-4+1)i\\ & =-1-i\end{array}$$

実部も虚部も $-1$。$2$ 乗と $3$ 乗を先に $a+bi$ の形にしておくと、あとは実部どうし虚部どうしの足し算で済みます。

例：$z+\overline{z}=6$ かつ $z\overline{z}=13$

$z=x+yi$ とおくと、$z+\overline{z}=2x$、$z\overline{z}=x^2+y^2$。

$$2x=6,x^2+y^2=13$$

$x=3$ を 2 本目へ入れて $9+y^2=13$、$y=\pm 2$。答えは $z=3+2i$ と $z=3-2i$ です。

和が $6$、積が $13$ の 2 数なので、$z$ と $\overline{z}$ は $t^2-6t+13=0$ の解。判別式は $36-52=-16$ で負になり、共役な虚数解が 2 つという結果とつながっています。

例：$\overline{z}=z^2$ を満たす $z$

$z=x+yi$ とおいて両辺を書き並べます。

$$z^2=(x^2-y^2)+2xyi,\overline{z}=x-yi$$

実部と虚部を比べると 2 本。

$$x^2-y^2=x,2xy=-y$$

2 本目を $y(2x+1)=0$ と直すと、$y=0$ か $x=-\frac{1}{2}$ に分かれます。

$y=0$ のとき 1 本目は $x^2=x$ で、$x=0$ または $x=1$。$z=0$ と $z=1$ が解になります。

$x=-\frac{1}{2}$ のとき 1 本目は $\frac{1}{4}-y^2=-\frac{1}{2}$ で、$y^2=\frac{3}{4}$、$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。

$$z=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$$

あわせて 4 つ。$z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を $2$ 乗すると $\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ で、たしかに共役になりました。

$0$ を除いた 3 つは、$3$ 乗して $1$ になる数と同じ顔ぶれ。$\overline{z}=z^2$ の両辺に $z$ をかけると $z\overline{z}=z^3$ になり、$z\ne 0$ で絶対値が $1$ なら左辺が $1$ になるからです。

$x+yi$ と置けば実数の連立に落ち、共役をとれば $z$ と $\overline{z}$ の連立になる。どちらの道でも、複素数 1 つぶんの等式が 2 本ぶんの情報を持っているところは変わりません。