複素数の絶対値は根号のまま扱わない〜2 乗して共役の積にする

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ を根号のまま動かすと、途中でどうにも展開できなくなります。$2$ 乗して共役の積に置きかえるところから始める。

$$|z{|}^2=z\overline{z}$$

$z=a+bi$ を入れれば $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ で、たしかに $|z{|}^2$。根号が消えたぶん、あとは積の展開で進む。

$|z_1+z_2{|}^2$ を展開する

$2$ 乗を共役の積に直し、$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ を使って開きます。

$$\begin{array}{rl}|z_1+z_2{|}^2& =(z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\ & =z_1\overline{z_1}+z_1\overline{z_2}+z_2\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}\\ & =|z_1{|}^2+z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2+|z_2{|}^2\end{array}$$

真ん中の 2 項は、たがいに共役。$\overline{z_1\overline{z_2}}=\overline{z_1}{z}_2$ だから、足すと実部の $2$ 倍で実数になります。

引き算のほうは真ん中の符号が変わるだけ。

$$|z_1-z_2{|}^2=|z_1{|}^2-(z_1\overline{z_2}+\overline{z_1}{z}_2)+|z_2{|}^2$$

$(a+b{)}^2$ と $(a-b{)}^2$ の関係と同じ形で並ぶ。

例：$|z|=2$、$|w|=3$、$|z+w|=4$ から $|z-w|$

まず真ん中の項を求めます。$|z+w{|}^2=16$ に当てはめる。

$$16=4+(z\overline{w}+\overline{z}w)+9$$

$z\overline{w}+\overline{z}w=3$。これを引き算のほうへ入れます。

$$|z-w{|}^2=4-3+9=10$$

絶対値は $0$ 以上なので $|z-w|=\sqrt{10}$。真ん中の項が実数と分かっているから、そのまま数として動かせます。

対角線の $2$ 乗を足すと辺の $2$ 乗の和になる

上の 2 本を足すと、真ん中の項が打ち消し合います。

$$|z+w{|}^2+|z-w{|}^2=2(|z{|}^2+|w{|}^2)$$

$16+10=26$、右辺は $2(4+9)=26$。合っています。

平行四辺形でいえば、2 本の対角線の $2$ 乗の和が、4 辺の $2$ 乗の和に等しいという関係。中線定理と同じ中身です。

そのまま計算する場合

数が具体的に与えられていれば、定義に入れるほうが早い。

実数と純虚数のところは、根号を通しても実数の絶対値に戻ります。$|-7|=7$、$|-2i|=2$。

積と商は先にほどく

$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$ と $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ を使えば、展開せずに済みます。

$|(1+i)(2-i)|$ なら $\sqrt{2}\times \sqrt{5}=\sqrt{10}$。展開してから測っても $(1+i)(2-i)=3+i$ で $\sqrt{10}$ になり、同じ値です。

$\left|\frac{3+4i}{1-i}\right|$ は $\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。分母の実数化をしなくても長さは決まる。

$|z|=1$ のとき $\overline{z}=\frac{1}{z}$

$z\overline{z}=|z{|}^2=1$ の両辺を $z$ で割ると、共役が逆数に化けます。

$$\overline{z}=\frac{1}{z}$$

単位円の上の点だけで通る関係で、共役を分数に置きかえられるぶん式が動かしやすくなる。

$|z|=1$ のとき $|z-2|$ と $|1-2\overline{z}|$ を比べてみます。どちらも $2$ 乗して展開する。

$$\begin{array}{rl}|z-2{|}^2& =(z-2)(\overline{z}-2)\\ & =|z{|}^2-2z-2\overline{z}+4\\ & =5-2(z+\overline{z})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}|1-2\overline{z}{|}^2& =(1-2\overline{z})(1-2z)\\ & =1-2z-2\overline{z}+4|z{|}^2\\ & =5-2(z+\overline{z})\end{array}$$

同じ式になりました。$|z|=1$ のあいだ、この 2 つの長さはいつも等しい。

2 点の隔たり

点 $z_1$ と点 $z_2$ の距離は $|z_1-z_2|$。座標でいえば $\sqrt{(a_1-a_2{)}^2+(b_1-b_2{)}^2}$ そのものです。

$z_1=5+2i$、$z_2=1-i$ なら $z_1-z_2=4+3i$ で、距離は $5$。

絶対値の問題は、根号を相手にするのではなく $|z{|}^2=z\overline{z}$ に置きかえるところから動きます。展開したあとに残る $z\overline{w}+\overline{z}w$ が実数だと分かっているため、そこから先はふつうの式変形です。