複素数の絶対値の計算

複素数 $z=a+bi$ の絶対値は $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ で定義される。複素数平面上で原点からの距離を表す。

例題1

次の複素数の絶対値を求めよ。

例題2

$|3+4i{|}^2$ を求めよ。

$|z{|}^2=z\bar{z}$ を使うと、

$$|3+4i{|}^2=(3+4i)(3-4i)=9+16=25$$

例題3

$\left|\frac{1+i}{1-i}\right|$ を求めよ。

$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ より、

$$\left|\frac{1+i}{1-i}\right|=\frac{|1+i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$$

例題4

$|(1+i{)}^5|$ を求めよ。

$|z^n|=|z{|}^n$ より、

$$|(1+i{)}^5|=|1+i{|}^5=(\sqrt{2}{)}^5=4\sqrt{2}$$

例題5

$|z|=2$ を満たす $z=x+yi$ の軌跡を求めよ。

$\sqrt{x^2+y^2}=2$ より $x^2+y^2=4$。これは原点中心、半径2の円である。