複素数の絶対値の計算

複素数 $z = a + bi$ の絶対値は $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ で定義される。複素数平面上で原点からの距離を表す。

例題1

次の複素数の絶対値を求めよ。

$∣3 + 4 i ∣^{2}$ を求めよ。

$∣ z ∣^{2} = z \overset{z}{ˉ}$ を使うと、

$∣3 + 4 i ∣^{2} = (3 + 4 i) (3 - 4 i) = 9 + 16 = 25$

$\frac{1 + i}{1 - i}$ を求めよ。

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ より、

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{∣1 + i ∣}{∣1 - i ∣} = \frac{2}{2} = 1$

$∣ (1 + i)^{5} ∣$ を求めよ。

$∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ より、

$∣ (1 + i)^{5} ∣ = ∣1 + i ∣^{5} = (2)^{5} = 42$

$∣ z ∣ = 2$ を満たす $z = x + y i$ の軌跡を求めよ。

$x^{2} + y^{2} = 2$ より $x^{2} + y^{2} = 4$ 。これは原点中心、半径2の円である。