特性方程式を使った漸化式の解法（aₙ₊₁ = paₙ + q 型）

漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p \neq = 1$ , $q \neq = 0$ ）は、特性方程式を使って解ける。

特性方程式

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ に対して、 $x = p x + q$ を特性方程式という。これを解くと

$x = \frac{q}{1 - p}$

この $x$ を $α$ とおく。

漸化式から特性方程式を引くと、

$a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$

となり、 ${a_{n} - α}$ は公比 $p$ の等比数列になる。

$a_{n} - α = (a_{1} - α) \cdot p^{n - 1}$

よって

$a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}$

$a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ を解け。

特性方程式 $x = 3 x + 2$ より $x = - 1$ 。

$a_{n + 1} + 1 = 3 (a_{n} + 1)$ なので、 ${a_{n} + 1}$ は初項 $2$ 、公比 $3$ の等比数列。

$a_{n} + 1 = 2 \cdot 3^{n - 1} \Rightarrow a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1$

$a_{1} = 5$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ を解け。

特性方程式 $x = 2 x - 3$ より $x = 3$ 。

$a_{n + 1} - 3 = 2 (a_{n} - 3)$ なので、 ${a_{n} - 3}$ は初項 $2$ 、公比 $2$ の等比数列。

$a_{n} - 3 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} \Rightarrow a_{n} = 2^{n} + 3$

$a_{n + 1} = a_{n} + q$ は等差数列で、 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) q$ 。