特性方程式で漸化式を等比数列に直す（aₙ₊₁ = paₙ + q 型）

$a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ のような漸化式は、等差数列でも等比数列でもありません。それでも、ある値を引くだけで等比数列に変わります。

引くべき値は、漸化式が動かなくなる点です。 $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を同じ $x$ と置いて解きます^[1]。

$x = p x + q ⟹ x = \frac{q}{1 - p} (p \neq = 1)$

この式を特性方程式、解を不動点といいます。いったんこの値になったら、次も同じ値のまま動きません^[1]。

不動点を目印にする

不動点を $α$ とすると、 $α = p α + q$ が成り立ちます。もとの漸化式からこれを引きます。

$a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$

$q$ がきれいに消えました。 ${a_{n} - α}$ は公比 $p$ の等比数列です。

$a_{n} - α = (a_{1} - α) p^{n - 1} ⟹ a_{n} = α + (a_{1} - α) p^{n - 1}$

不動点からのずれだけを見ると、話が等比数列に戻る。これが特性方程式を使う理由です^[2]。

近づく様子を目で見る

$a_{n + 1} = 0.6 a_{n} + 2$ で、不動点は $\frac{2}{1 - 0.6} = 5$ です。 $a_{1} = 1$ から始めるとどうなるか。

2 本の直線のあいだを階段状に進み、交点へ吸い寄せられていきます。交点の座標が不動点です。

$∣ p ∣ < 1$ なら不動点に近づき、 $∣ p ∣ > 1$ なら離れていきます^[1]^[2]。公式の $p^{n - 1}$ がそのまま効いている形です。

例題 1：p が 1 より大きい

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ を解きます。

特性方程式は $x = 3 x + 2$ で、 $x = - 1$ です。

$a_{n + 1} + 1 = 3 (a_{n} + 1)$

${a_{n} + 1}$ は初項 $a_{1} + 1 = 2$ 、公比 $3$ の等比数列。

$a_{n} + 1 = 2 \cdot 3^{n - 1} ⟹ a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1$

$n = 1, 2, 3$ で $1, 5, 17$ 。漸化式に入れると $3 \cdot 1 + 2 = 5$ 、 $3 \cdot 5 + 2 = 17$ で合っています。

例題 2：符号に気をつける

$a_{1} = 5$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ を解きます。

特性方程式 $x = 2 x - 3$ より $x = 3$ 。

$a_{n + 1} - 3 = 2 (a_{n} - 3)$

初項は $a_{1} - 3 = 2$ 、公比は $2$ です。

$a_{n} - 3 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} ⟹ a_{n} = 2^{n} + 3$

$α$ が正なら引き、負なら足す。符号を機械的に処理せず、 $a_{n} - α$ の形に必ず書き直します。

例題 3：不動点に近づく場合

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 3$ を解きます。

$x = \frac{1}{2} x + 3$ より $x = 6$ 。

$a_{n} - 6 = (1 - 6) (\frac{1}{2})^{n - 1} ⟹ a_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n - 1}$

$n$ を大きくすると $(\frac{1}{2})^{n - 1}$ が $0$ に近づくので、 $a_{n}$ は $6$ に近づきます。初項がいくつでも行き先は同じ^[2]。

p が 1 のとき

$p = 1$ では特性方程式が $x = x + q$ となり、 $q \neq = 0$ なら解がありません。不動点が存在しない場合です。

このとき漸化式は $a_{n + 1} = a_{n} + q$ で、公差 $q$ の等差数列そのものです^[2]。

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) q$

特性方程式が使えないのではなく、使う必要がない。まず $p = 1$ かどうかを見る癖をつけます。

例題 4：現実の場面で

ある薬は、1 日たつと体内に $60$ % が残ります。毎日 $200$ mg を飲むとき、 $n$ 日目の直後の量を $a_{n}$ とします。

$a_{n + 1} = 0.6 a_{n} + 200, a_{1} = 200$

不動点は $\frac{200}{1 - 0.6} = 500$ です。

$a_{n} = 500 - 300 \cdot 0. 6^{n - 1}$

日がたつと $500$ mg に近づき、そこで釣り合います。飲む量と抜ける量が等しくなる点が不動点です^[2]。

借金の返済や人口の増減も同じ形になります。一定の割合で減り、一定量が加わる。この形はいたるところに出てきます^[2]。

例題 5：和も求める

例題 1 の $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 1$ について、初項から第 $n$ 項までの和を求めます。

$k = 1 \sum n (2 \cdot 3^{k - 1} - 1) = 2 \cdot \frac{3 ^{n} - 1}{3 - 1} - n = 3^{n} - 1 - n$

等比数列の和の公式と、定数の和を組み合わせるだけです。一般項さえ出れば、和は機械的に計算できます。

練習問題

$a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6$ の特性方程式の解はどれですか。

$x = - 2$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 6$

__RESULT__

$x = 4 x - 6$ を解くと $- 3 x = - 6$ より $x = 2$ です。この $2$ を引くと $a_{n + 1} - 2 = 4 (a_{n} - 2)$ になります。

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + 4$ の $a_{n}$ は、 $n$ を大きくするとどの値に近づきますか。

$2$
$4$
$6$
限りなく大きくなる

__RESULT__

不動点は $x = \frac{1}{3} x + 4$ より $x = 6$ です。公比が $\frac{1}{3}$ で絶対値が $1$ より小さいので、ずれは $0$ に近づきます。

参考文献

Recurrence relation - Wikipedia

Suite arithmético-géométrique - Wikipédia（フランス語）

a(n+1) = 3a(n) + 2 は等差でも等比でもありません。それでも、漸化式が動かなくなる値を 1 つ見つけて引くと、ずれの部分が等比数列に変わります。不動点へ階段状に近づく様子を折れ線で追い、公比の絶対値が 1 より小さいか大きいかで行き先が変わることを確かめ、薬が体内でつり合う量まで同じ式で計算します。