展開せずに角を足す、複素数の極形式でのかけ算と割り算と累乗

極形式にしてしまえば、かけ算も割り算も累乗も、絶対値と偏角を別々に計算するだけになります。

角が $2\pi$ を超えたら、$2\pi$ の倍数を引いて範囲へ戻す。$-1$ 回転も $+1$ 回転も同じ点を指します。

例：$2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\times 3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$

絶対値は $2\times 3=6$、偏角は $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi +2\pi }{12}=\frac{5}{12}\pi$。

$$6\left(\cos \frac{5}{12}\pi +i\sin \frac{5}{12}\pi \right)$$

$\frac{5}{12}\pi$ は $75^{\circ }$ で有名角の表にありません。極形式のまま答えにします。

例：角が $2\pi$ を超える場合

$3\left(\cos \frac{5}{4}\pi +i\sin \frac{5}{4}\pi \right)$ と $2\left(\cos \frac{7}{6}\pi +i\sin \frac{7}{6}\pi \right)$ をかけます。

絶対値は $6$、偏角は $\frac{5}{4}\pi +\frac{7}{6}\pi =\frac{15\pi +14\pi }{12}=\frac{29}{12}\pi$。

$2\pi =\frac{24}{12}\pi$ を引いて $\frac{5}{12}\pi$ に戻します。

$$6\left(\cos \frac{5}{12}\pi +i\sin \frac{5}{12}\pi \right)$$

1 周ぶん回っても点は動かないため、範囲の中の角に直してから書く。

例：割り算

$\frac{4\left(\cos \frac{5}{6}\pi +i\sin \frac{5}{6}\pi \right)}{2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)}$ を計算します。

絶対値は $\frac{4}{2}=2$、偏角は $\frac{5}{6}\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi -3\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$。

$$2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$$

有名角に落ちたので $a+bi$ まで書けました。

例：$(\sqrt{3}-i{)}^{10}$

まず極形式へ直します。$r=\sqrt{3+1}=2$、$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \theta =-\frac{1}{2}$ で $\theta =-\frac{\pi }{6}$。

絶対値を $10$ 乗して $2^{10}=1024$、偏角を $10$ 倍して $-\frac{10}{6}\pi =-\frac{5}{3}\pi$。

$2\pi$ を足すと $\frac{\pi }{3}$ に落ちます。

$$\begin{array}{rl}(\sqrt{3}-i{)}^{10}& =1024\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)\\ & =1024\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ & =512+512\sqrt{3}i\end{array}$$

そのまま $10$ 乗を展開すると項が $11$ 個ぶん並びます。角を $10$ 倍するほうは、足し算 1 回で済む。

例：$\frac{(1+i{)}^8}{(\sqrt{3}+i{)}^6}$

分子と分母を別々に片づけます。

$1+i$ は $r=\sqrt{2}$、$\theta =\frac{\pi }{4}$。$8$ 乗すると絶対値が $(\sqrt{2}{)}^8=16$、偏角が $8\times \frac{\pi }{4}=2\pi$ で、$1$ 周ぶん。

$$(1+i{)}^8=16(\cos 2\pi +i\sin 2\pi )=16$$

$\sqrt{3}+i$ は $r=2$、$\theta =\frac{\pi }{6}$。$6$ 乗すると絶対値が $64$、偏角が $\pi$。

$$(\sqrt{3}+i{)}^6=64(\cos \pi +i\sin \pi )=-64$$

どちらも実数に落ちたため、割り算は数のまま進みます。

$$\frac{16}{-64}=-\frac{1}{4}$$

例：${\left(\frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}\right)}^{12}$

先に分数を極形式へ直します。$1+\sqrt{3}i$ は $r=2$、$\theta =\frac{\pi }{3}$。$1-i$ は $r=\sqrt{2}$、$\theta =-\frac{\pi }{4}$。

割り算なので絶対値は $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$、偏角は $\frac{\pi }{3}-\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{7}{12}\pi$。

$$\frac{1+\sqrt{3}i}{1-i}=\sqrt{2}\left(\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi \right)$$

$12$ 乗します。絶対値は $(\sqrt{2}{)}^{12}=2^6=64$、偏角は $12\times \frac{7}{12}\pi =7\pi$。

$7\pi$ から $6\pi$ を引いて $\pi$。

$$64(\cos \pi +i\sin \pi )=-64$$

$\frac{7}{12}\pi$ という有名角でない角も、$12$ 倍した時点で分母が消えて $\pi$ の倍数に落ちました。指数と分母がかみ合うと、こういう形になります。

偏角は $2\pi$ で割った余りだけ見る

角が大きくなったら、$2\pi$ の倍数を引きます。$\frac{29}{12}\pi$ なら $2\pi$ を 1 回、$7\pi$ なら $2\pi$ を 3 回。

$\cos$ と $\sin$ は $2\pi$ ごとに同じ値をくり返すため、余りだけが値を決めています。$i$ の累乗が $4$ で割った余りで決まる話と、同じ仕組み。

展開の手間は指数とともに増えますが、角の計算は指数がいくつでも同じ 1 行。極形式に直す最初のひと手間が、そのあとを全部軽くします。