極形式での積・商・累乗の計算

極形式では積・商・累乗の計算が簡単になる。偏角の加減とド・モアブルの定理を使う。

積の公式

$r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1}) \cdot r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2}) = r_{1} r_{2} {cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})}$

商の公式

$\frac{r _{1} ( cos θ _{1} + i sin θ _{1} )}{r _{2} ( cos θ _{2} + i sin θ _{2} )} = \frac{r _{1}}{r _{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2})}$

例題1

$(1 + i) (3 + i)$ を計算せよ。

極形式に直すと、 $1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ 、 $3 + i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ 。

$(1 + i) (3 + i) = 22 (cos \frac{5 π}{12} + i sin \frac{5 π}{12})$

例題2

$\frac{1 + i}{1 - i}$ を計算せよ。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ 、 $1 - i = 2 (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4}))$ 。

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{2}{2} (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = i$

例題3

$(1 + i)^{10}$ を計算せよ。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ より、

$(1 + i)^{10} = (2)^{10} (cos \frac{10 π}{4} + i sin \frac{10 π}{4}) = 32 (cos \frac{5 π}{2} + i sin \frac{5 π}{2})$

$\frac{5 π}{2} = 2 π + \frac{π}{2}$ なので、 $cos \frac{5 π}{2} = 0$ , $sin \frac{5 π}{2} = 1$ 。

よって $(1 + i)^{10} = 32 i$ 。

例題4

$(\frac{1 + 3 i}{2})^{12}$ を計算せよ。

$\frac{1 + 3 i}{2} = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ より、

$(\frac{1 + 3 i}{2})^{12} = cos 4 π + i sin 4 π = 1$