共役をかけて実数にする - 複素数の計算で共役が効く場面

共役が効くのは、$z$ と $\overline{z}$ を組み合わせると実数が残るところ。

$$z+\overline{z}=2a,z\overline{z}=a^2+b^2$$

足しても、かけても $i$ が消えます。分母を実数にするのも、絶対値を積に置きかえるのも、この 2 本から来ている。

分母から $i$ を追い出す

$\frac{1}{c+di}$ の分母と分子に $c-di$ をかけると、分母が $c^2+d^2$ になります。

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$$

分母を実数にしてしまえば、あとは分子を実部と虚部に分けるだけ。

実数かどうかを $z=\overline{z}$ で見る

$z$ が実数であることと $z=\overline{z}$ は同じ。$x+yi$ と置いて虚部を $0$ にする代わりに、この形で条件を書けます。

$\frac{z}{1+i}$ が実数になる $z$ を求めてみます。$w=\frac{z}{1+i}$ とおき、$w=\overline{w}$ を書き下す。

$$\frac{z}{1+i}=\frac{\overline{z}}{1-i}$$

たすきにかけて $z(1-i)=\overline{z}(1+i)$。$z=x+yi$ を入れます。

$$\begin{array}{rl}(x+yi)(1-i)& =(x+y)+(y-x)i\\ (x-yi)(1+i)& =(x+y)+(x-y)i\end{array}$$

実部はそろっているため、虚部から $y-x=x-y$、つまり $y=x$。

$z=x+xi=x(1+i)$ となり、$z$ は $1+i$ の実数倍。複素数平面でいえば原点を通る直線の上です。

絶対値を $2$ 乗して積にする

$|z{|}^2=z\overline{z}$ は、根号を消して式変形へ持ちこむための置きかえ。

$\overline{z}=\frac{1}{z}$ という条件が与えられたとします。両辺に $z$ をかける。

$$z\overline{z}=1$$

左辺は $|z{|}^2$ だから $|z|=1$。単位円の上にある、という条件と同じものでした。

例：$z+\frac{1}{z}$ が実数になる $z$

$z\ne 0$ とし、$w=z+\frac{1}{z}$ とおきます。$w$ が実数なら $w=\overline{w}$。

$$z+\frac{1}{z}=\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}$$

$z$ と $\overline{z}$ を左へ、分数を右へ寄せます。

$$z-\overline{z}=\frac{1}{\overline{z}}-\frac{1}{z}=\frac{z-\overline{z}}{z\overline{z}}$$

右辺の分子は通分して $z-\overline{z}$ になる。両辺を見比べて $z-\overline{z}$ でくくります。

$$(z-\overline{z})\left(1-\frac{1}{z\overline{z}}\right)=0$$

積が $0$ になるのは、$z-\overline{z}=0$ または $z\overline{z}=1$ のとき。前者は $z$ が実数、後者は $|z|=1$ です。

答えは実軸の上か、単位円の上。$z=2$ なら $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$、$z=i$ なら $i+\frac{1}{i}=i-i=0$。どちらも実数になっています。

和と積が実数になることを使う

$\alpha$ と $\overline{\alpha }$ を足すと実部の $2$ 倍、かけると $|\alpha {|}^2$。どちらも実数だから、この 2 数を解に持つ二次方程式は実数係数になります。

$$x^2-(\alpha +\overline{\alpha })x+\alpha \overline{\alpha }=0$$

$\alpha =3-2i$ なら和が $6$、積が $9+4=13$。$x^2-6x+13=0$ です。

例：実数係数の 4 次方程式へ戻す

$1+i$ と $2i$ を解に持つ実数係数の 4 次方程式を考えます。係数が実数のため、共役の $1-i$ と $-2i$ も解。

$1\pm i$ の側は、和が $2$、積が $(1+i)(1-i)=2$。

$$x^2-2x+2$$

$\pm 2i$ の側は、和が $0$、積が $(2i)(-2i)=4$。

$$x^2+4$$

2 つをかけて 4 次にします。

$$\begin{array}{rl}(x^2-2x+2)(x^2+4)& =x^4+4x^2-2x^3-8x+2x^2+8\\ & =x^4-2x^3+6x^2-8x+8\end{array}$$

係数がすべて実数になりました。虚数解を 2 つ与えられたら、その共役を足して 4 つにそろえ、共役どうしを組にして実数係数の 2 次式へ落とす。

対称式に持ちこむ

$\alpha +\overline{\alpha }$ と $\alpha \overline{\alpha }$ が実数だと分かっていれば、$\alpha$ と $\overline{\alpha }$ の対称式はすべて実数になります。

${\alpha }^2+{\overline{\alpha }}^2$ なら $(\alpha +\overline{\alpha }{)}^2-2\alpha \overline{\alpha }$ と書き直せる。$\alpha =3-2i$ で計算すると $36-26=10$ です。

じかに ${\alpha }^2=9-12i+4i^2=5-12i$、${\overline{\alpha }}^2=5+12i$ を足しても $10$。虚部が打ち消し合うことは、対称式の形からあらかじめ分かっています。

共役はもう 1 本の式を持ってくる道具。$z$ だけでは書けない条件が、$z$ と $\overline{z}$ を並べたとたんに等式として書けるようになります。