共役複素数を利用した計算テクニック

共役複素数の性質を使うと、計算が簡潔になる場面が多い。主なテクニックを紹介する。

実部・虚部の取り出し

$z=a+bi$ に対して、

$$\text{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2},\text{Im}(z)=\frac{z-\bar{z}}{2i}$$

例題1

$z=3+4i$ の実部と虚部を共役を使って求めよ。

$\text{Re}(z)=\frac{(3+4i)+(3-4i)}{2}=3$

$\text{Im}(z)=\frac{(3+4i)-(3-4i)}{2i}=\frac{8i}{2i}=4$

絶対値の2乗

$|z{|}^2=z\bar{z}$ を使うと、平方根を避けられる。

例題2

$|z{|}^2=1$ のとき、$z+\frac{1}{z}$ が実数であることを示せ。

$|z{|}^2=z\bar{z}=1$ より $\bar{z}=\frac{1}{z}$。

よって $z+\frac{1}{z}=z+\bar{z}$ となり、これは実数。

例題3

$|z|=1$ のとき、$\frac{z-1}{z+1}$ が純虚数または0であることを示せ。

$w=\frac{z-1}{z+1}$ とおく。$w$ が純虚数または0であることは $w+\bar{w}=0$ と同値。

$\bar{w}=\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}+1}$。$|z|=1$ より $\bar{z}=\frac{1}{z}$ なので、

$$\bar{w}=\frac{1/z-1}{1/z+1}=\frac{1-z}{1+z}=-\frac{z-1}{z+1}=-w$$

よって $w+\bar{w}=0$ が成立。

共役の積への分配

$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$ を使った計算。

例題4

$|(1+i)(2-3i){|}^2$ を求めよ。

$$|(1+i)(2-3i){|}^2=(1+i)(2-3i)\cdot \overline{(1+i)(2-3i)}=(1+i)(2-3i)(1-i)(2+3i)$$

$$=\{(1+i)(1-i)\}\{(2-3i)(2+3i)\}=2\cdot 13=26$$