複素数と回転移動

複素数平面上の回転移動は、複素数の積で表現できる。これは複素数平面の最も強力な応用の一つである。

原点中心の回転

点 $z$ を原点中心に角 $θ$ だけ回転した点 $z^{'}$ は、

$z^{'} = z \cdot (cos θ + i sin θ)$

で与えられる。 $cos θ + i sin θ$ を掛けることが回転操作に対応する。

特別な場合として、

がある。

原点以外の点 $α$ を中心に回転させるには、いったん $α$ を原点に移し、回転してから戻す。

点 $z$ を点 $α$ 中心に角 $θ$ だけ回転した点 $z^{'}$ は、

$z^{'} = (z - α) (cos θ + i sin θ) + α$

整理すると、

$z^{'} - α = (z - α) (cos θ + i sin θ)$

となり、 $α$ からの相対位置が回転することがわかる。

正三角形や正方形などの正多角形の頂点を求める問題では、回転が有効である。

たとえば、 $z_{1} = 0$ , $z_{2} = 2$ を2頂点とする正三角形の第3の頂点は、 $z_{2}$ を $z_{1}$ 中心に $\pm 60°$ 回転させて

$z_{3} = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 1 + 3 i$

または $z_{3} = 1 - 3 i$ と求まる。

$w = r (cos θ + i sin θ)$ を掛けることは、原点中心に角 $θ$ の回転と $r$ 倍の拡大を同時に行う。この合成変換を相似変換という。