複素数平面の回転移動：中心が原点でないときの公式

$z=4+3i$ を点 $1+i$ のまわりに $90$ 度回すと、$-1+4i$ へ移ります。

中心が原点なら、$i$ をかけるところで終わります。中心が $1+i$ に動くと、それだけでは合わない。中心を原点へ寄せ、そこで回し、寄せたぶんを戻す。3 段に分けます。

$$w=(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )+\alpha$$

$\alpha$ は回転の中心、$\theta$ は回す角、$w$ は移った先です。

引くと矢印だけが残る

$z-\alpha$ は、点 $\alpha$ から点 $z$ へ向かう矢印です。始点が原点にくるため、かけ算で回せる形になる。

回したあとに $\alpha$ を足すと、矢印の始点が $\alpha$ へ戻る。長さも角も、足す段では変わらない。

右の図で回っているのは $3+2i$ です。$i$ をかけると $-2+3i$、$\alpha$ を足し直して $-1+4i$。

例：$1+i$ のまわりに $90$ 度

$z=4+3i$、$\alpha =1+i$、$\theta =\frac{\pi }{2}$ とします。まず中心を原点へ寄せる。

$$z-\alpha =(4+3i)-(1+i)=3+2i$$

$\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$ なので、$i$ をかけます。

$$(3+2i)i=3i+2i^2=-2+3i$$

$\alpha$ を足して戻す。

$$w=(-2+3i)+(1+i)=-1+4i$$

$\alpha$ から $z$ までは $|3+2i|=\sqrt{13}$、$\alpha$ から $w$ までは $|-2+3i|=\sqrt{13}$。回しただけだから、中心からの距離は変わりません。

例：$1$ のまわりに $60$ 度

$z=3+2i$、$\alpha =1$ とします。かける数は $\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

$$z-\alpha =2+2i$$

$$\begin{array}{rl}(2+2i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)& =1+\sqrt{3}i+i+\sqrt{3}{i}^2\\ & =(1-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+1)i\end{array}$$

$\alpha =1$ を足して $w=(2-\sqrt{3})+(\sqrt{3}+1)i$。

偏角でも確かめられる。$z-\alpha =2+2i$ の偏角は $\frac{\pi }{4}$ で、$\frac{\pi }{3}$ を足すと $\frac{7}{12}\pi$。

第 2 象限の角だから、実部は負、虚部は正になるはずです。実際に $1-\sqrt{3}$ は負、$\sqrt{3}+1$ は正になっていて、符号が合う。

例：時計回りに $90$ 度

角に $-$ をつけると向きが変わる。$\theta =-\frac{\pi }{2}$ なら、かける数は $\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-i$。

$z=3+4i$ を、$\alpha =1+2i$ のまわりに時計回りへ $90$ 度回します。

$$z-\alpha =2+2i$$

$$\begin{array}{rl}(2+2i)(-i)& =-2i-2i^2\\ & =2-2i\end{array}$$

$\alpha$ を足すと $w=3$ で、実軸上の点になりました。距離は $|2+2i|=2\sqrt{2}$ と $|2-2i|=2\sqrt{2}$ で、やはり変わらない。

回した点は円周上に並ぶ

$\theta$ を動かすと、$w$ は $\alpha$ を中心とする円をたどります。半径は $|z-\alpha |$ で、$\theta$ の値によらない。

$|w-\alpha |=|z-\alpha |$ は、$\theta$ をどう選んでも成り立ちます。$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと $w$ は円を 1 周し、$2\pi$ でもとの $z$ に重なる。

例：$180$ 度回すと中心が中点になる

$\theta =\pi$ なら $\cos \pi +i\sin \pi =-1$。式に入れて整理します。

$$\begin{array}{rl}w& =-(z-\alpha )+\alpha \\ & =2\alpha -z\end{array}$$

移項すると $z+w=2\alpha$ になり、両辺を $2$ で割ると $\frac{z+w}{2}=\alpha$。$\alpha$ が $z$ と $w$ の中点になる。

$z=5+i$、$\alpha =2-i$ で試す。

$$w=2(2-i)-(5+i)=-1-3i$$

中点を計算すると $\frac{(5+i)+(-1-3i)}{2}=\frac{4-2i}{2}=2-i$ で、$\alpha$ に戻りました。

例：正方形の残りの頂点を決める

正方形 $\mathrm{ABCD}$ のうち、$\mathrm{A}(1+i)$ と $\mathrm{B}(4+2i)$ が分かっているとします。頂点は反時計回りに並ぶものとする。

$\mathrm{D}$ は、$\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ のまわりに $90$ 度回した点です。

$$(4+2i)-(1+i)=3+i$$

$$(3+i)i=3i+i^2=-1+3i$$

$\mathrm{A}$ を足して $\mathrm{D}=4i$。残る $\mathrm{C}$ は、$\mathrm{D}$ に $3+i$ を足した点になる。

$$4i+(3+i)=3+5i$$

辺の長さを見ます。$|3+i|=\sqrt{10}$、$|-1+3i|=\sqrt{10}$ で、隣り合う 2 辺がそろっている。

対角線は $|(3+5i)-(1+i)|=|2+4i|=2\sqrt{5}$ で、$\sqrt{10}$ の $\sqrt{2}$ 倍です。

倍率をつける

回しながら伸ばすときは、絶対値 $k$ を前に置きます。

$$w=k(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )+\alpha$$

$k$ は中心からの距離を $k$ 倍にし、$\cos \theta +i\sin \theta$ は向きを $\theta$ 変える。$k=1$ なら回転だけ、$\theta =0$ なら伸び縮みだけになる。

$\alpha =1+i$、$z=3+i$ で、$\theta =\frac{\pi }{3}$、$k=2$ とします。

$z-\alpha =2$ にかける数は $2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i$。

$$2(1+\sqrt{3}i)=2+2\sqrt{3}i$$

$\alpha$ を足すと $w=3+(2\sqrt{3}+1)i$ になる。中心からの距離は $2$ から $|2+2\sqrt{3}i|=4$ に変わり、ちょうど $2$ 倍です。

2 点と中心から角と倍率を読む

点 $z$ が中心 $\alpha$ のまわりの回転で $w$ へ移ったなら、次の比を見ます。

$$\frac{w-\alpha }{z-\alpha }$$

これが $k(\cos \theta +i\sin \theta )$ そのもの。絶対値は倍率 $k$、偏角は回した角 $\theta$ です。

$\alpha =1$、$z=3$、$w=1+2i$ で計算します。

$$\begin{array}{rl}z-\alpha & =2\\ w-\alpha & =2i\end{array}$$

$$\frac{2i}{2}=i$$

絶対値は $1$、偏角は $\frac{\pi }{2}$ で、倍率なしの $90$ 度回転。$w$ を $1+4i$ に替えると比は $2i$ になり、$90$ 度回して $2$ 倍に伸ばした動きになる。

比の値と、その値が表す動きを並べます。

補足：$w=\beta z+\gamma$ はどこを中心に回っているか

$w=iz+1-i$ のような 1 次式も、回転の式に書き直せます。動かない点を先に探す。

$w=z$ となる点を $\omega$ と置きます。

$$\begin{array}{rl}\omega & =i\omega +1-i\\ (1-i)\omega & =1-i\\ \omega & =1\end{array}$$

点 $1$ だけが動かない。この点を両辺から引きます。

$$\begin{array}{rl}w-1& =(iz+1-i)-1\\ & =iz-i\\ & =i(z-1)\end{array}$$

$w-1=i(z-1)$ になり、点 $1$ を中心とする $90$ 度の回転だと読めます。

$\beta$ の絶対値は倍率、偏角は回す角にあたる。$\beta =i$ なら倍率 $1$ で $90$ 度、$\beta =1+i$ なら倍率 $\sqrt{2}$ で $45$ 度。

回転の中心をどこに置くかで変わるのは、$\alpha$ を引くかどうかです。中心さえ原点へ寄せてしまえば、あとは $\cos \theta +i\sin \theta$ のかけ算が角を動かし、$\alpha$ を足すと元の場所へ戻ります。