複素数の n 乗根を求める（z^n = α 型）

方程式 $z^{n} = α$ の解（ $α$ の $n$ 乗根）を求める方法を見ていく。

解法の手順

$α = r (cos θ + i sin θ)$ と極形式で表すと、 $z^{n} = α$ の解は

$z_{k} = n r (cos \frac{θ + 2 k π}{n} + i sin \frac{θ + 2 k π}{n}) (k = 0, 1, \dots, n - 1)$

の $n$ 個である。これらは $∣ α ∣^{1/ n}$ を半径とする円上に等間隔で並ぶ。

$z^{2} = i$ を解け。

$i = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}$ なので、

$z_{0} = cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4} = \frac{1 + i}{2}$

$z_{1} = cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4} = \frac{- 1 - i}{2}$

$z^{3} = 8$ を解け。

$8 = 8 (cos 0 + i sin 0)$ なので、 $38 = 2$ として、

$z_{k} = 2 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3}) (k = 0, 1, 2)$

具体的には $z_{0} = 2$ , $z_{1} = - 1 + 3 i$ , $z_{2} = - 1 - 3 i$ 。

$z^{4} = - 1$ を解け。

$- 1 = cos π + i sin π$ なので、

$z_{k} = cos \frac{π + 2 k π}{4} + i sin \frac{π + 2 k π}{4} (k = 0, 1, 2, 3)$

$z_{0} = cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4} = \frac{1 + i}{2}$

$z_{1} = cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4} = \frac{- 1 + i}{2}$

$z_{2} = cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4} = \frac{- 1 - i}{2}$

$z_{3} = cos \frac{7 π}{4} + i sin \frac{7 π}{4} = \frac{1 - i}{2}$

$z^{3} = 1 + i$ を解け。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ なので、

$z_{k} = 62 (cos \frac{π /4 + 2 k π}{3} + i sin \frac{π /4 + 2 k π}{3}) (k = 0, 1, 2)$