n 乗して α になる数を n 個そろえる複素数の n 乗根の求め方

$z^n=\alpha$ を解くときは、両辺を極形式にそろえます。$\alpha$ は $0$ でないとします。

$$\alpha =r(\cos \phi +i\sin \phi ),z=s(\cos \theta +i\sin \theta )$$

左辺は角を $n$ 倍して長さを $n$ 乗した形になるため、両辺を見比べる。

$$s^n=r,n\theta =\phi +2k\pi$$

$s$ は正の実数だから、$s=\sqrt[n]{r}$ が 1 つに決まります。角のほうは $2\pi$ ずらせるぶんの自由があり、そこから解が枝分かれする。

$$\theta =\frac{\phi +2k\pi }{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$$

$k=n$ にすると角が $2\pi$ ぶん増えて $k=0$ と同じ点へ戻るため、解はちょうど $n$ 個。

例：$z^3=8$

$8$ を極形式にすると $8(\cos 0+i\sin 0)$。$r=8$、$\phi =0$ です。

$s=\sqrt[3]{8}=2$、$\theta =\frac{2k\pi }{3}$ で $k=0,1,2$。

実数の解は $2$ の 1 つだけで、残る 2 つは共役の組。$z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4)$ と因数分解し、$z^2+2z+4=0$ を解いても同じ答えに着きます。

例：$z^4=-16$

$-16$ は実軸の負のほうにあるため $16(\cos \pi +i\sin \pi )$。$r=16$、$\phi =\pi$。

$s=\sqrt[4]{16}=2$、$\theta =\frac{\pi +2k\pi }{4}$。$k$ を動かすと $\frac{\pi }{4}$、$\frac{3}{4}\pi$、$\frac{5}{4}\pi$、$\frac{7}{4}\pi$ の 4 つ。

$$z=2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$$

残りも同じように書けます。

実数の解はありません。$4$ 乗して負になる実数がないところと合っています。

$\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ を確かめると、$2$ 乗して $2+4i+2i^2=4i$、もう一度 $2$ 乗して $16i^2=-16$。

例：$z^3=-8i$

$-8i$ は虚軸の負のほうにあり、$8\left(\cos \frac{3}{2}\pi +i\sin \frac{3}{2}\pi \right)$。

$s=\sqrt[3]{8}=2$、$\theta =\frac{\frac{3}{2}\pi +2k\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+\frac{2k\pi }{3}$。

$k=0,1,2$ で $\frac{\pi }{2}$、$\frac{7}{6}\pi$、$\frac{11}{6}\pi$ の 3 つ。

$k=0$ の解を確かめると $(2i{)}^3=8i^3=-8i$。合っています。

解は円に等間隔で並ぶ

どの解も絶対値が $\sqrt[n]{r}$ で同じ。角だけが $\frac{2\pi }{n}$ ずつずれるため、半径 $\sqrt[n]{r}$ の円を $n$ 等分した点に並びます。

結ぶと正 $n$ 角形。$\alpha$ が変わると円の大きさと、最初の 1 点の角が変わるだけで、並び方は変わりません。

1 つ見つければ残りは回すだけ

$z_0$ が $z^n=\alpha$ の解で、$\zeta$ が $1$ の $n$ 乗根なら、$z_0\zeta$ も解になります。

$$(z_0\zeta {)}^n=z_0^n{\zeta }^n=\alpha \times 1=\alpha$$

だから $z_0$、$z_0\zeta$、$z_0{\zeta }^2$、$\dots$、$z_0{\zeta }^{n-1}$ が $n$ 個の解。$z^3=8$ なら $z_0=2$ に $1$ の $3$ 乗根をかければ、残り 2 つが並びます。

実部と虚部で解く道と比べる

$z^2=i$ を $z=x+yi$ とおいて解いてみます。

$$x^2-y^2=0,2xy=1$$

1 本目から $y=\pm x$。$2xy=1$ が正なので $x$ と $y$ は同符号で、$y=x$。$2x^2=1$ から $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$$z=\pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$$

極形式なら $i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ で $s=1$、$\theta =\frac{\pi }{4}$ と $\frac{5}{4}\pi$。同じ 2 点です。

$n$ が $2$ のうちは実部と虚部で解けますが、$3$ 以上になると連立が高次になって重くなる。極形式のほうは $n$ がいくつでも角の割り算 1 回で済みます。

$n$ 乗根を求める手順は、絶対値を $n$ 乗根にして、偏角を $n$ で割って $\frac{2\pi }{n}$ ずつずらすところまで。$\alpha$ が何であっても、解は円の上に等間隔で $n$ 個そろいます。