n 乗して α になる数を n 個そろえる複素数の n 乗根の求め方

$z^{n} = α$ を解くときは、両辺を極形式にそろえます。 $α$ は $0$ でないとします。

$α = r (cos φ + i sin φ), z = s (cos θ + i sin θ)$

左辺は角を $n$ 倍して長さを $n$ 乗した形になるため、両辺を見比べる。

$s^{n} = r, n θ = φ + 2 k π$

$s$ は正の実数だから、 $s = n r$ が 1 つに決まります。角のほうは $2 π$ ずらせるぶんの自由があり、そこから解が枝分かれする。

$θ = \frac{φ + 2 k π}{n} (k = 0, 1, \dots, n - 1)$

$k = n$ にすると角が $2 π$ ぶん増えて $k = 0$ と同じ点へ戻るため、解はちょうど $n$ 個。

例： $z^{3} = 8$

$8$ を極形式にすると $8 (cos 0 + i sin 0)$ 。 $r = 8$ 、 $φ = 0$ です。

$s = 38 = 2$ 、 $θ = \frac{2 k π}{3}$ で $k = 0, 1, 2$ 。

$k = 0$	$2 (cos 0 + i sin 0) = 2$
$k = 1$	$2 (cos \frac{2}{3} π + i sin \frac{2}{3} π) = - 1 + 3 i$
$k = 2$	$2 (cos \frac{4}{3} π + i sin \frac{4}{3} π) = - 1 - 3 i$

実数の解は $2$ の 1 つだけで、残る 2 つは共役の組。 $z^{3} - 8 = (z - 2) (z^{2} + 2 z + 4)$ と因数分解し、 $z^{2} + 2 z + 4 = 0$ を解いても同じ答えに着きます。

例： $z^{4} = - 16$

$- 16$ は実軸の負のほうにあるため $16 (cos π + i sin π)$ 。 $r = 16$ 、 $φ = π$ 。

$s = 416 = 2$ 、 $θ = \frac{π + 2 k π}{4}$ 。 $k$ を動かすと $\frac{π}{4}$ 、 $\frac{3}{4} π$ 、 $\frac{5}{4} π$ 、 $\frac{7}{4} π$ の 4 つ。

$z = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4}) = 2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) = 2 + 2 i$

残りも同じように書けます。

2 + 2 i

。

- 2 + 2 i

。

- 2 - 2 i

。

2 - 2 i

。

実数の解はありません。 $4$ 乗して負になる実数がないところと合っています。

$2 + 2 i$ を確かめると、 $2$ 乗して $2 + 4 i + 2 i^{2} = 4 i$ 、もう一度 $2$ 乗して $16 i^{2} = - 16$ 。

例： $z^{3} = - 8 i$

$- 8 i$ は虚軸の負のほうにあり、 $8 (cos \frac{3}{2} π + i sin \frac{3}{2} π)$ 。

$s = 38 = 2$ 、 $θ = \frac{\frac{3}{2} π + 2 k π}{3} = \frac{π}{2} + \frac{2 k π}{3}$ 。

$k = 0, 1, 2$ で $\frac{π}{2}$ 、 $\frac{7}{6} π$ 、 $\frac{11}{6} π$ の 3 つ。

$k = 0$	$2 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 2 i$
$k = 1$	$2 (cos \frac{7}{6} π + i sin \frac{7}{6} π) = - 3 - i$
$k = 2$	$2 (cos \frac{11}{6} π + i sin \frac{11}{6} π) = 3 - i$

$k = 0$ の解を確かめると $(2 i)^{3} = 8 i^{3} = - 8 i$ 。合っています。

解は円に等間隔で並ぶ

どの解も絶対値が $n r$ で同じ。角だけが $\frac{2 π}{n}$ ずつずれるため、半径 $n r$ の円を $n$ 等分した点に並びます。

結ぶと正 $n$ 角形。 $α$ が変わると円の大きさと、最初の 1 点の角が変わるだけで、並び方は変わりません。

1 つ見つければ残りは回すだけ

$z_{0}$ が $z^{n} = α$ の解で、 $ζ$ が $1$ の $n$ 乗根なら、 $z_{0} ζ$ も解になります。

$(z_{0} ζ)^{n} = z_{0}^{n} ζ^{n} = α \times 1 = α$

だから $z_{0}$ 、 $z_{0} ζ$ 、 $z_{0} ζ^{2}$ 、 $\dots$ 、 $z_{0} ζ^{n - 1}$ が $n$ 個の解。 $z^{3} = 8$ なら $z_{0} = 2$ に $1$ の $3$ 乗根をかければ、残り 2 つが並びます。

$z^{4} = 1$ の解の 1 つが $1$ であることを使うと、 $z^{4} = 81$ の解として正しくないものはどれですか。

$3 i$
$- 3$
$9$

__RESULT__

$z^{4} = 81$ の実数解は $\pm 3$ で、そこに $1$ の $4$ 乗根 $1, i, - 1, - i$ をかけると $3$ 、 $3 i$ 、 $- 3$ 、 $- 3 i$ になります。 $9$ は $4$ 乗すると $6561$ で、値が合いません。

実部と虚部で解く道と比べる

$z^{2} = i$ を $z = x + y i$ とおいて解いてみます。

$x^{2} - y^{2} = 0, 2 x y = 1$

1 本目から $y = \pm x$ 。 $2 x y = 1$ が正なので $x$ と $y$ は同符号で、 $y = x$ 。 $2 x^{2} = 1$ から $x = \pm \frac{1}{2}$ 。

$z = \pm (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i)$

極形式なら $i = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}$ で $s = 1$ 、 $θ = \frac{π}{4}$ と $\frac{5}{4} π$ 。同じ 2 点です。

$n$ が $2$ のうちは実部と虚部で解けますが、 $3$ 以上になると連立が高次になって重くなる。極形式のほうは $n$ がいくつでも角の割り算 1 回で済みます。

$z^{3} = 27 i$ の解のうち、絶対値はいくつですか。

$3$
$27$
$9$

__RESULT__

$∣27 i ∣ = 27$ で、解の絶対値を $s$ とすると $s^{3} = 27$ です。 $s$ は正の実数だから $s = 3$ 。 $3$ 乗する前と後をとり違えると $27$ を選んでしまいます。

$n$ 乗根を求める手順は、絶対値を $n$ 乗根にして、偏角を $n$ で割って $\frac{2 π}{n}$ ずつずらすところまで。 $α$ が何であっても、解は円の上に等間隔で $n$ 個そろいます。

$z^n = \alpha$ は両辺を極形式にそろえて解きます。$\alpha = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$、$z = s(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと $s^n = r$ と $n\theta = \varphi + 2k\pi$。$s$ は正の実数の $n$ 乗根に決まり、角は $\dfrac{\varphi + 2k\pi}{n}$ を $k = 0$ から $n-1$ まで動かして $n$ 個です。$z^3 = 8$、$z^4 = -16$、$z^3 = -8i$ を順に解く。解は半径 $\sqrt[n]{r}$ の円に等間隔で並び、1 つ見つければ $1$ の $n$ 乗根をかけて残りが拾えます。