複素数の除法と分母の実数化

複素数の除法では、分母に共役複素数を掛けて分母を実数化する。 $\frac{a + bi}{c + d i}$ の形を計算する手順は以下の通り。

分母の共役複素数

c - d i

を分母・分子に掛ける

分母を計算：

(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}

分子を展開して整理

実部と虚部に分けて答えを書く

例題1

$\frac{3 + 2 i}{1 + i}$ を計算せよ。

$\frac{3 + 2 i}{1 + i} = \frac{( 3 + 2 i ) ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{3 - 3 i + 2 i - 2 i ^{2}}{1 + 1} = \frac{5 - i}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} i$

例題2

$\frac{1}{2 - 3 i}$ を計算せよ。

$\frac{1}{2 - 3 i} = \frac{2 + 3 i}{( 2 - 3 i ) ( 2 + 3 i )} = \frac{2 + 3 i}{4 + 9} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} i$

例題3

$\frac{i}{1 + i}$ を計算せよ。

$\frac{i}{1 + i} = \frac{i ( 1 - i )}{( 1 + i ) ( 1 - i )} = \frac{i - i ^{2}}{2} = \frac{i + 1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

例題4

$\frac{2 + i}{2 - i} + \frac{2 - i}{2 + i}$ を計算せよ。

それぞれ計算すると、

$\frac{2 + i}{2 - i} = \frac{( 2 + i ) ^{2}}{5} = \frac{3 + 4 i}{5}, \frac{2 - i}{2 + i} = \frac{( 2 - i ) ^{2}}{5} = \frac{3 - 4 i}{5}$

和は $\frac{3 + 4 i + 3 - 4 i}{5} = \frac{6}{5}$ 。

このように、 $\frac{z}{z ˉ} + \frac{z ˉ}{z}$ の形は虚部が消えて実数になる。