複素数の除法と分母の実数化

複素数の除法では、分母に共役複素数を掛けて分母を実数化する。$\frac{a+bi}{c+di}$ の形を計算する手順は以下の通り。

例題1

$\frac{3+2i}{1+i}$ を計算せよ。

$$\frac{3+2i}{1+i}=\frac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{3-3i+2i-2i^2}{1+1}=\frac{5-i}{2}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i$$

例題2

$\frac{1}{2-3i}$ を計算せよ。

$$\frac{1}{2-3i}=\frac{2+3i}{(2-3i)(2+3i)}=\frac{2+3i}{4+9}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13}i$$

例題3

$\frac{i}{1+i}$ を計算せよ。

$$\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{2}=\frac{i+1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

例題4

$\frac{2+i}{2-i}+\frac{2-i}{2+i}$ を計算せよ。

それぞれ計算すると、

$$\frac{2+i}{2-i}=\frac{(2+i{)}^2}{5}=\frac{3+4i}{5},\frac{2-i}{2+i}=\frac{(2-i{)}^2}{5}=\frac{3-4i}{5}$$

和は $\frac{3+4i+3-4i}{5}=\frac{6}{5}$。

このように、$\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}$ の形は虚部が消えて実数になる。