分母の i はどうやって消すのか？複素数の除法と分母の実数化

$\frac{3+i}{1-2i}$ のままでは、実部も虚部も読めません。複素数の答えは $a+bi$ の形にそろえます。

分母に $i$ が残っているかぎり、この形にはならない。分母を実数に変えるところが、割り算の中心になります。

虚部の符号を変えた数をかける

分母が $c+di$ なら、分母と分子の両方に $c-di$ をかける。

$$(c+di)(c-di)=c^2-(di{)}^2=c^2+d^2$$

$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ に $x=c$、$y=di$ をあてただけ。$-d^2{i}^2$ が $+d^2$ に変わるため、$i$ の項が残りません。

$c$ と $d$ が同時に $0$ でなければ $c^2+d^2>0$。$0$ で割ることにはなりません。

根号のときと同じ手つき

実数でも $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母に根号が残ると値が読めず、$\sqrt{2}+1$ をかけて片づける。

$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}$$

分母を有理化するときと、やっていることが同じ。邪魔なものと符号違いの相手をかけて、和と差の積で消す。

複素数では $i^2=-1$ のため、$\sqrt{2}$ の有理化で $2$ が残るのと同じ場所に $+d^2$ が残る。

例：$\frac{5}{2-i}$

分母が $2-i$ だから、$2+i$ をかける。

$$\frac{5}{2-i}=\frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{5(2+i)}{4+1}=\frac{5(2+i)}{5}$$

分母の $5$ と約分できて、答えは $2+i$。

もとの式に戻して確かめる。$(2+i)(2-i)=4+1=5$ で、たしかに $\frac{5}{2-i}=2+i$ です。

例：$\frac{3+i}{1-2i}$

分母が $1-2i$ なので $1+2i$ をかける。

$$\begin{array}{rl}\frac{3+i}{1-2i}& =\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}\\ & =\frac{3+6i+i+2i^2}{1+4}\\ & =\frac{1+7i}{5}\end{array}$$

答えは $\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i$。実部と虚部に分けたところまで書いて終わりです。

分子の $2i^2$ が $-2$ になり、実部が $3$ から $1$ へ減っている。ここを $i$ の項のまま残すと $\frac{3+9i}{5}$ という別の値になります。

符号をそろえてかけると失敗する

分母と同じ $1-2i$ をかけたらどうなるか、見ておきます。

$$(1-2i)(1-2i)=1-4i+4i^2=-3-4i$$

分母に $i$ が残ったまま。符号を変えるところが効いています。

分母が純虚数なら $i$ を 1 つ

分母が $3i$ のように実部を持たないときは、$i$ を 1 つかければ足りる。

$$\frac{1}{3i}=\frac{i}{3i^2}=\frac{i}{-3}=-\frac{1}{3}i$$

$-3i$ をかけても同じ答えに着きますが、数が大きくなります。実部が $0$ のときは $i$ だけで済む。

$\frac{1}{i}=-i$、$\frac{1}{i^3}=\frac{1}{-i}=i$。$i$ の逆数まわりは、符号が入れかわった形になります。

逆数の形

$z=a+bi$ の逆数は、共役を $a^2+b^2$ で割った形になります。

$$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$

$z\overline{z}=a^2+b^2$ という関係が、そのまま分母に現れている。

$z=3+4i$ なら $a^2+b^2=25$ で、$\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}$。かけ戻すと $\frac{(3+4i)(3-4i)}{25}=\frac{25}{25}=1$ になります。

例：$\frac{2-3i}{3+2i}$

分母に $3-2i$ をかけます。

$$\begin{array}{rl}\frac{2-3i}{3+2i}& =\frac{(2-3i)(3-2i)}{9+4}\\ & =\frac{6-4i-9i+6i^2}{13}\\ & =\frac{-13i}{13}\end{array}$$

実部が $6-6=0$ になり、答えは $-i$。分子と分母が $13$ で約分できて、純虚数だけが残りました。

$3+2i$ の実部と虚部を入れかえて符号を変えると $2-3i$ になる。この関係があるときは、商が純虚数になります。

例：$\frac{(1+i{)}^6}{(1-i{)}^4}$

$2$ 乗を足がかりにすると、指数が大きくても短く済みます。

$(1+i{)}^2=2i$ だから $(1+i{)}^6=(2i{)}^3=8i^3=-8i$。

$(1-i{)}^2=-2i$ より $(1-i{)}^4=(-2i{)}^2=4i^2=-4$。

$$\frac{-8i}{-4}=2i$$

分母が実数の $-4$ になったため、実数化はいりません。先に $2$ 乗でまとめておくと、分母から $i$ が消えることがあります。

商が実数になる $k$

$\frac{2+ki}{1+3i}$ が実数になる $k$ を求めます。分母に $1-3i$ をかけて $a+bi$ の形へ。

$$\begin{array}{rl}\frac{(2+ki)(1-3i)}{1+9}& =\frac{2-6i+ki-3k{i}^2}{10}\\ & =\frac{(2+3k)+(k-6)i}{10}\end{array}$$

実数になるのは虚部が $0$ のとき、つまり $k=6$。このとき値は $\frac{2+18}{10}=2$ になる。

純虚数になるのは実部が $0$ で虚部が $0$ でないとき。$2+3k=0$ から $k=-\frac{2}{3}$ で、$k-6\ne 0$ も満たしています。

例：$\frac{1+i}{1-i}$ の $2026$ 乗

分母と分子に $1+i$ をかけると、分子が $(1+i{)}^2$ にまとまる。

$$\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$$

この分数はちょうど $i$。だから累乗も $i$ の周期の話に変わります。

$${\left(\frac{1+i}{1-i}\right)}^{2026}=i^{2026}=-1$$

$2026$ を $4$ で割った余りが $2$ で $i^2=-1$。分数のまま $2026$ 乗するかわりに、先に $i$ へ直しておく。

例：分数の中に分数がある形

$\frac{1}{1+\frac{1}{i}}$ を計算します。内側から片づける。

$\frac{1}{i}=-i$ なので、分母は $1-i$。

$$\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2}$$

答えは $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$ になります。内側の分数を先に $a+bi$ へ直しておけば、外側は 1 回の実数化で済む。

割り算のたびにやることは 1 つで、分母の虚部の符号を変えた数をかけるところ。$i^2=-1$ が分母から $i$ を追い出し、残った実数で全体を割れば $a+bi$ の形に落ち着きます。