シグマは「ここからここまで足せ」という命令（Σ の意味と計算規則）

$\Sigma$ は「ここからここまで足せ」という命令です。ギリシャ文字のシグマで、和を表す Sum の頭文字にあたります^[1]。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

$k$ は下端の $1$ から上端の $n$ まで、1 ずつ動きます。動かす文字を添字、または和の変数といいます^[2]。

長い足し算をひとつの記号にたたむための道具です。書く手間が減るだけでなく、公式を当てはめる形に整理できます。

記号の部品

$\Sigma$ のまわりには 3 つの情報がついています^[1][2]。

添字に使う文字は自由です。$\sum _{k=1}^n{a}_k$ と $\sum _{j=1}^n{a}_j$ は同じ値を表します。

計算規則

足し算を並べ替えたりまとめたりする規則が、そのまま $\Sigma$ の規則になります^[1][2]。

$$\sum _{k=1}^{n}c{a}_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k,\sum _{k=1}^n(a_k\pm b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k\pm \sum _{k=1}^n{b}_k$$

定数は外に出せて、足し算と引き算は分けられる。この 2 つをまとめて線形性といいます。

掛け算では成り立ちません^[2]。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ne \left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)$$

$n=2$ で確かめると分かります。左辺は $a_1{b}_1+a_2{b}_2$、右辺には $a_1{b}_2$ や $a_2{b}_1$ が余分に現れます。

定数だけを足すときは、個数を掛けるだけです。

$$\sum _{k=1}^{n}c=\underset{n\text{ 個}}{\underbrace{c+c+\cdots +c}}=nc$$

基本公式

高校で使う 4 つを並べます^[1]。

3 番目までを覚えれば、たいていの問題は解けます。4 番目は「$k$ の和を 2 乗したもの」と覚えると楽です。

1 から n までの和はなぜあの形か

$\sum _{k=1}^{n}k$ の公式は、図を描くと一瞬で分かります。

三角形に並べた点を 2 つ用意し、片方を裏返して合わせると、縦 $n$、横 $n+1$ の長方形ができます。

$$2S=n(n+1)⟹S=\frac{n(n+1)}{2}$$

三角形に並ぶ点の個数なので、この値を三角数ともいいます^[3]。

例題 1：1 次式の和

$\sum _{k=1}^n(3k+2)$ を求めます。

線形性で 2 つに分け、公式を当てはめます。

$$\sum _{k=1}^n(3k+2)=3\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}2=3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+2n$$

$$=\frac{3n^2+3n+4n}{2}=\frac{3n^2+7n}{2}=\frac{n(3n+7)}{2}$$

$n=2$ で検算します。左辺は $5+8=13$、右辺は $\frac{2\cdot 13}{2}=13$ で一致しました。

例題 2：2 次式の和

$\sum _{k=1}^n(k^2-k)$ を求めます。

$$\sum _{k=1}^n{k}^2-\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{n(n+1)}{2}$$

共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくると計算が楽になります。

$$=\frac{n(n+1)}{6}\{(2n+1)-3\}=\frac{n(n+1)(2n-2)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1)}{3}$$

くくってから引く。この順にすると、通分のミスがぐっと減ります。

例題 3：途中から始まる和

$\sum _{k=3}^n{k}^2$ を求めます。

下端が $1$ でないときは、$1$ から始めた和から余分を引きます。

$$\sum _{k=3}^n{k}^2=\sum _{k=1}^n{k}^2-(1^2+2^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-5$$

引くのは $k=1$ と $k=2$ の 2 項ぶんです。項数は $n-2$ 個で、$n-3$ 個ではありません。

例題 4：添字をずらす

$\sum _{k=1}^n{a}_{k+1}$ は、書き下すと $a_2+a_3+\cdots +a_{n+1}$ です。

添字を $j=k+1$ と置きかえれば、下端と上端も一緒にずれます^[2]。

$$\sum _{k=1}^n{a}_{k+1}=\sum _{j=2}^{n+1}{a}_j$$

中身の添字を $1$ 増やしたぶん、上下の端を $1$ 減らす。逆向きに動く点に気をつけます。

例題 5：k と n を混同しない

$\sum _{k=1}^n(n-k)$ を求めます。

$n$ は和の中では定数です。動くのは $k$ だけ。

$$\sum _{k=1}^n(n-k)=\sum _{k=1}^{n}n-\sum _{k=1}^{n}k=n\cdot n-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$$

$\sum _{k=1}^{n}n$ を $n$ と書いてしまう誤りが多いところです。定数 $n$ を $n$ 回足すので $n^2$ になります。

練習問題

参考文献