Σ記号の意味と計算規則

$\sum _{k=1}^n{a}_k$ は $a_1+a_2+\cdots +a_n$ を表す記号である。$\Sigma$（シグマ）はギリシャ文字で、和（Sum）の頭文字に対応する。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

$k$ は添字（ダミー変数）で、$k=1$ から $k=n$ まで動く。

基本的な計算規則

$c$ を定数とするとき、

$$\sum _{k=1}^{n}c\cdot a_k=c\sum _{k=1}^n{a}_k$$

$$\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k+\sum _{k=1}^n{b}_k$$

$$\sum _{k=1}^n(a_k-b_k)=\sum _{k=1}^n{a}_k-\sum _{k=1}^n{b}_k$$

定数の和は

$$\sum _{k=1}^{n}c=nc$$

基本公式

添字の範囲変更

添字の範囲は自由に変えられる。

$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=0}^{n-1}{a}_{k+1}=\sum _{j=1}^n{a}_j$$

添字の文字を $k$ から $j$ に変えても値は変わらない。

例題

$\sum _{k=1}^n(3k+2)$ を求めよ。

$$\sum _{k=1}^n(3k+2)=3\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}2=3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+2n=\frac{3n^2+7n}{2}$$