部分分数分解による和の計算

分数の形をした数列の和を求めるとき、部分分数分解が有効な場合がある。分解後に隣り合う項が打ち消し合い（telescoping）、計算が簡単になる。

基本公式

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

この形に分解すると、和をとったときに中間の項が消える。

例題1

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ を求めよ。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$$

$$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

一般化

$$\frac{1}{k(k+d)}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+d}\right)$$

例題2

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$ を求めよ。

$$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$$

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\right\}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$

例題3

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めよ。

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$$

$$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}$$