1 つの分数を 2 つの差に割ると、まん中が全部消える

分数の和は、そのまま足すと通分の山になります。ところが 1 つの分数を 2 つの差に分けると、途中が次々に打ち消し合って両端だけが残る。

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

この分け方を部分分数分解、打ち消し合う和をテレスコープといいます^[1][2]。望遠鏡を縮めるように、長い和が一気に短くなります。

打ち消しの様子

$n=5$ で書き下してみます。

$$\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$$

$-\frac{1}{2}$ と $+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$ が消えていきます。残るのは最初の $1$ と最後の $-\frac{1}{6}$ だけ^[1]。

一般に、$c_k$ の差の形に書ければ和は両端だけになります^[1][2]。

$$\sum _{k=1}^n(c_k-c_{k+1})=c_1-c_{n+1}$$

どの項が残るかを間違えやすいので、必ず最初の 2 項と最後の 2 項を書き出して確かめます。

分け方の見つけ方

$\frac{1}{k(k+1)}$ をどう分けるか。$\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$ と置いて係数を決めます^[3]。

$$1=A(k+1)+Bk$$

$k=0$ を入れると $A=1$、$k=-1$ を入れると $B=-1$。都合のよい値を代入して一気に決める手を、隠す方法ともいいます^[3]。

分母の差が $d$ のときは、次の形にまとまります。

$$\frac{1}{k(k+d)}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+d}\right)$$

$\frac{1}{d}$ が前に出るところを落としやすい。分母の差が $1$ でないときは、必ずこの係数を確かめます。

例題 1：基本形

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$ を求めます。

$$\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

$n=3$ で検算します。$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{6+2+1}{12}=\frac{3}{4}$ で、公式の値と一致しました。

$n$ を大きくすると $\frac{n}{n+1}$ は $1$ に近づきます。無限に足しても $1$ を超えません^[1]。

例題 2：分母の差が 2

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)}$ を求めます。

$$\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$$

差が 2 つ飛びなので、消え方も 1 つ飛ばしになります。前から 2 項、後ろから 2 項が残る。

$$\frac{1}{2}\left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\right\}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$$

飛ばす幅と、残る項の個数が一致します。差が $d$ なら両端に $d$ 項ずつ残る、と覚えておくと迷いません。

例題 3：奇数の積

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求めます。

分母の差は $2$ なので $\frac{1}{2}$ が前に出ます。

$$\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}$$

こちらは連続する項の差になっているので、残るのは両端 1 項ずつです。分母が飛んでいても、$k$ について隣り合っていれば素直に消えます。

例題 4：分子が 1 でない場合

$\sum _{k=1}^n\frac{2}{k(k+1)}$ なら、定数 $2$ を外に出すだけです。

$$2\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{2n}{n+1}$$

$\sum _{k=1}^n\frac{2k+1}{k(k+1)}$ のように分子に $k$ が入るときは、分けてから考えます。

$$\frac{2k+1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$$

これは差ではなく和なので、打ち消しは起きません。テレスコープが使えるのは差の形に書けたときだけです。

例題 5：3 つの積

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を求めます。

次の変形が使えます。

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right\}$$

右辺を通分すると、分子が $\frac{(k+2)-k}{2}=1$ になって左辺に戻ります。

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right\}$$

3 つの積でも、隣り合う 2 つの積の差に書けばテレスコープが効きます。

平方根の差

分数以外にも使えます。$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ は有理化すると差になります。

$$\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$$

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{n+1}-1$$

差の形に持ちこめるかどうかが勝負です。分母の有理化も、そのための手のひとつになります。

練習問題

参考文献