部分分数分解による和の計算

分数の形をした数列の和を求めるとき、部分分数分解が有効な場合がある。分解後に隣り合う項が打ち消し合い（telescoping）、計算が簡単になる。

基本公式

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

この形に分解すると、和をとったときに中間の項が消える。

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )}$ を求めよ。

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$

$\frac{1}{k ( k + d )} = \frac{1}{d} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + d})$

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )}$ を求めよ。

$\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$

$= \frac{1}{2} {(1 + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$

$k = 1 \sum n \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )}$ を求めよ。

$\frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1})$

$= \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) = \frac{n}{2 n + 1}$