二次方程式の判別式が負のとき、解は共役な 2 つの虚数になる

$a$ 、 $b$ 、 $c$ を実数、 $a \neq = 0$ として $a x^{2} + b x + c = 0$ を解の公式にかけます。

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

根号の中の $D = b^{2} - 4 a c$ を判別式といい、この符号だけで解の顔ぶれが決まる。

3 通りに分かれる

$D > 0$ なら根号の中が正で、異なる 2 つの実数解。 $D = 0$ なら根号が消えて $x = - \frac{b}{2 a}$ の重解。

$D < 0$ のときは $D$ を $∣ D ∣ i$ と読みかえます。

$x = \frac{- b \pm ∣ D ∣ i}{2 a} = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{∣ D ∣}{2 a} i$

実部は $- \frac{b}{2 a}$ で共通、虚部だけが符号違い。共役な 2 つの虚数解になります。

$D > 0$	異なる 2 つの実数解
$D = 0$	重解（実数が 1 つ）
$D < 0$	共役な 2 つの虚数解

グラフとの対応

$y = a x^{2} + b x + c$ のグラフが $x$ 軸とどう交わるかが、そのまま $D$ の符号です。2 点で交わる、1 点で接する、交わらない。

$D < 0$ で交点が消えるのは、 $y = 0$ になる実数の $x$ がないから。解そのものは 2 つあり、実軸から外れた場所にいます。

例： $x^{2} + x + 1 = 0$

$D = 1 - 4 = - 3$ で負。 $- 3 = 3 i$ と書きかえます。

$x = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}$

実部はどちらも $- \frac{1}{2}$ 、虚部が $\pm \frac{3}{2}$ 。共役な 2 つが並びました。

$x = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ を入れて確かめます。 $x^{2} = \frac{1 - 2 3 i + 3 i ^{2}}{4} = \frac{- 2 - 2 3 i}{4} = \frac{- 1 - 3 i}{2}$ 。

これに $x$ と $1$ を足すと、虚部が消えて $\frac{- 1 - 3 i - 1 + 3 i + 2}{2} = 0$ 。

例： $2 x^{2} - 4 x + 5 = 0$

$D = 16 - 40 = - 24$ 。 $- 24 = 26 i$ です。

$x = \frac{4 \pm 2 6 i}{4} = 1 \pm \frac{6}{2} i$

$b$ が偶数のため $\frac{D}{4} = (\frac{b}{2})^{2} - a c = 4 - 10 = - 6$ を使ってもよく、 $x = \frac{2 \pm 6 i}{2}$ と同じ答えに着きます。

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$ の解はどれですか。

$3 \pm 2$
$3 \pm 2 i$
$6 \pm 2 i$

__RESULT__

$D = 36 - 52 = - 16$ で $- 16 = 4 i$ です。 $x = \frac{6 \pm 4 i}{2} = 3 \pm 2 i$ になります。分母の $2$ で割り忘れると $6 \pm 2 i$ の形になる。

解と係数の関係は符号によらない

2 つの解を $α$ 、 $β$ とすると、 $D$ が正でも負でも同じ関係が成り立ちます。

$α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

$D < 0$ のときは $α$ と $β$ が共役だから、和も積も実数。 $α + \overline{α}$ は実部の 2 倍、 $α \overline{α}$ は実部と虚部の 2 乗和で、どちらも実数に落ちます。

係数が実数のままつじつまが合うのは、この 2 つが実数になるからです。

例： $1 \pm 2 i$ を解に持つ二次方程式

和は $(1 + 2 i) + (1 - 2 i) = 2$ 、積は $(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 1 + 4 = 5$ 。

$x^{2} - (和) x + (積) = 0$ の形に入れます。

$x^{2} - 2 x + 5 = 0$

判別式は $4 - 20 = - 16$ で、たしかに負。虚数解を 1 つ決めれば、実数係数の方程式は係数の比まで決まります。

例：虚数解を持つ $k$ の範囲

$x^{2} - 2 k x + k + 6 = 0$ が虚数解を持つ条件を求めます。 $b$ が偶数のため $\frac{D}{4}$ で計算する。

$\frac{D}{4} = k^{2} - (k + 6) = k^{2} - k - 6 = (k - 3) (k + 2)$

虚数解を持つのは $D < 0$ のときだから、 $(k - 3) (k + 2) < 0$ 。答えは $- 2 < k < 3$ です。

$k = 0$ で試すと $x^{2} + 6 = 0$ となり $x = \pm 6 i$ 。範囲の中に入っている値で、たしかに虚数解になりました。

$x^{2} + k x + 9 = 0$ が虚数解を持つ $k$ の範囲はどれですか。

$k < - 6$ または $k > 6$
$- 6 < k < 6$
$k = \pm 6$

__RESULT__

$D = k^{2} - 36$ です。虚数解を持つのは $D < 0$ 、つまり $k^{2} < 36$ から $- 6 < k < 6$ になります。 $k = \pm 6$ は $D = 0$ で重解、範囲の外は実数解が 2 つ。

重解のときだけ「1 つ」と数える

$D = 0$ の解は $x = - \frac{b}{2 a}$ の 1 つですが、 $(x - α)^{2} = 0$ という形なので、2 つが重なっていると見ることもできます。

この見方をとると、二次方程式の解は複素数の範囲でいつも 2 つ。 $D$ の符号は、その 2 つが実軸に乗るか、実軸をはさんで対称に浮くかを決めているだけになります。

判別式は解の個数を数える道具というより、2 つの解がどこにいるかを教える符号です。

$ax^2 + bx + c = 0$ の解は、根号の中の $D = b^2 - 4ac$ の符号で 3 通りに分かれます。$D > 0$ なら実数解が 2 つ、$D = 0$ なら重解、$D < 0$ なら $\sqrt{D}$ が $\sqrt{|D|}\,i$ に化けて共役な虚数解が 2 つ。グラフでは $x$ 軸と 2 点で交わる、接する、交わらないの 3 つに対応する。解と係数の関係は符号によらず $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ のままです。$1 \pm 2i$ を解に持つ方程式へ戻す手順と、虚数解を持つ $k$ の範囲まで。

二次方程式の判別式が負のとき、解は共役な 2 つの虚数になる

3 通りに分かれる

グラフとの対応

例：x2+x+1=0

例：2x2−4x+5=0