二次方程式と複素数解（判別式との関係）

実数係数の二次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）の解は、解の公式

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

で与えられる。判別式 $D=b^2-4ac$ の符号によって、解の様子が決まる。

判別式と解の関係

$D<0$ のとき、$\sqrt{D}=\sqrt{-|D|}=i\sqrt{|D|}$ となり、解は

$$x=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}$$

という共役複素数のペアになる。

共役解の原理

実数係数の方程式では、虚数解は必ず共役のペアで現れる。$\alpha =p+qi$（$q\ne 0$）が解なら、$\bar{\alpha }=p-qi$ も解である。

これは、係数が実数なら $\overline{f(\alpha )}=f(\bar{\alpha })$ が成り立つためである。

解と係数の関係

二次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha$, $\beta$ とすると、

$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$

が成り立つ。これは解が複素数であっても有効である。逆に、和が $p$、積が $q$ である2数を解にもつ二次方程式は $x^2-px+q=0$ である。

例

$x^2-2x+5=0$ を解く。$D=4-20=-16<0$ なので、

$$x=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$$

解は $1+2i$ と $1-2i$ で、確かに共役複素数のペアになっている。