i の 2026 乗はいくつか - 指数を 4 で割った余りで決まる i の累乗

$i$ をかけ続けると、4 つの値を順にくり返します。

$i^4=1$ に戻ったため、$i^5$ は $i^4\times i=i$ で $i^1$ と同じ。ここから先はずっと 4 つの繰り返しになります。

指数を 4 で割った余りで決まる

$n$ を $4$ で割った商を $q$、余りを $r$ とすると、$n=4q+r$。

$$i^n=i^{4q+r}=(i^4{)}^q\times i^r=1^q\times i^r=i^r$$

$i^4=1$ が $q$ 回ぶんまるごと消えるため、余りの $r$ だけが残ります。

例：$i^{2026}$

$2026$ を $4$ で割ります。$2026=4\times 506+2$ で余りは $2$。

$$i^{2026}=i^2=-1$$

下 2 桁を見れば足ります。$100$ が $4$ の倍数だから、百の位から上はまるごと $4$ で割り切れる。$26=4\times 6+2$ で、やはり余りは $2$ です。

例：$i^{123}$

$123=4\times 30+3$ で余りは $3$。$i^{123}=i^3=-i$ になります。

下 2 桁の $23$ で見ても $23=4\times 5+3$ で同じ余り。

負の指数でも表は同じ

$\frac{1}{i}$ は、分母と分子に $i$ をかけて実数化します。

$$\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i$$

$i^{-1}=-i$ で、これは $i^3$ と同じ値。指数を $4$ 増やしても値が変わらないため、$-1$ に $4$ を足した $3$ として読めます。

$i^{-6}$ なら $-6+8=2$ と直して $i^2=-1$。負の数を $4$ で割った余りに直すとき、余りが $0$ 以上 $3$ 以下になるまで $4$ を足す。

続けて 4 つ足すと $0$

$i^n$ から 4 つ並べると、$i$、$-1$、$-i$、$1$ が 1 つずつ入ります。順番は違っても顔ぶれは同じ。

$$i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=i^n(1+i+i^2+i^3)=i^n\times 0=0$$

かっこの中は $1+i-1-i=0$。長い和は 4 つずつの組に切ると、ほとんどが消えます。

例：$1+i+i^2+\cdots +i^{100}$

$i^0$ から $i^{100}$ までで $101$ 項。はじめの $100$ 項を 4 つずつ $25$ 組に分けると、どの組も $0$。

残るのは最後の $i^{100}$ の 1 項。$100$ は $4$ で割り切れるため $i^{100}=1$ で、答えは $1$ になります。

等比数列の和の公式でも確かめられる。初項 $1$、公比 $i$、項数 $101$ です。

$$\frac{i^{101}-1}{i-1}=\frac{i-1}{i-1}=1$$

$101=4\times 25+1$ だから $i^{101}=i$。分子と分母が同じ形になり、$1$ に落ちました。

例：$(1+i{)}^{50}$

$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$ を足がかりにします。

$$\begin{array}{rl}(1+i{)}^{50}& =\{(1+i{)}^2{\}}^{25}\\ & =(2i{)}^{25}\\ & =2^{25}\times i^{25}\end{array}$$

$25=4\times 6+1$ で $i^{25}=i$。$2^{25}=33554432$ だから、答えは $33554432i$ です。

指数が $2$ 乗の形にまとまると、あとは $i$ の周期の話になります。

指数がいくつであっても、見るのは $4$ で割った余りだけ。$i$ をかける動きが $90$ 度の回転であることが、そのまま周期 $4$ の理由になっています。