i の累乗の計算（i^n の値を素早く求める）

$i$ の累乗は周期4で循環するため、$i^n$ の値は $n$ を4で割った余りだけで決まる。

例題1

$i^{53}$ を求めよ。

$53=4\times 13+1$ なので、余りは1。よって $i^{53}=i$。

例題2

$i^{100}$ を求めよ。

$100=4\times 25$ なので、余りは0。よって $i^{100}=1$。

例題3

$i+i^2+i^3+\cdots +i^{100}$ を求めよ。

$i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$ より、連続する4項の和は0になる。

$100=4\times 25$ なので、100項は25組に分けられ、答えは $0$。

例題4

$i^{-1}$ を求めよ。

$$i^{-1}=\frac{1}{i}=\frac{1\cdot (-i)}{i\cdot (-i)}=\frac{-i}{1}=-i$$

または $i^{-1}=i^3=-i$ と考えてもよい。

例題5

$(1+i{)}^2$ と $(1-i{)}^2$ を求めよ。

$$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$$

$$(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$$

これらは頻出なので覚えておくとよい。