i の累乗の計算（i^n の値を素早く求める）

$i$ の累乗は周期4で循環するため、 $i^{n}$ の値は $n$ を4で割った余りだけで決まる。

例題1

$i^{53}$ を求めよ。

$53 = 4 \times 13 + 1$ なので、余りは1。よって $i^{53} = i$ 。

$i^{100}$ を求めよ。

$100 = 4 \times 25$ なので、余りは0。よって $i^{100} = 1$ 。

$i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{100}$ を求めよ。

$i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0$ より、連続する4項の和は0になる。

$100 = 4 \times 25$ なので、100項は25組に分けられ、答えは $0$ 。

$i^{- 1}$ を求めよ。

$i^{- 1} = \frac{1}{i} = \frac{1 \cdot ( - i )}{i \cdot ( - i )} = \frac{- i}{1} = - i$

または $i^{- 1} = i^{3} = - i$ と考えてもよい。

$(1 + i)^{2}$ と $(1 - i)^{2}$ を求めよ。

$(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$

$(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = 1 - 2 i - 1 = - 2 i$

これらは頻出なので覚えておくとよい。