複素数の割り算 1 つで、三角形が直角か正三角形かが決まる

3 点 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ を頂点 A、B、C とします。この 3 点の並び方は、次の割り算 1 つに集まる。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

$\beta -\alpha$ は A から B への矢印、$\gamma -\alpha$ は A から C への矢印。割り算は絶対値を割って偏角を引くため、この値の絶対値が $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$、偏角が $\angle \text{BAC}$ になります。

長さの比と角度が、1 つの複素数に同時に入っている。

実数なら一直線

比が実数になるのは偏角が $0$ か $\pi$ のとき。A から見て B と C が同じ向きか、真逆の向きに並びます。

$\alpha =1+i$、$\beta =3+3i$、$\gamma =6+6i$ で確かめます。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{5+5i}{2+2i}=\frac{5}{2}$$

実数の $\frac{5}{2}$ になり、3 点は一直線上。$\text{AC}:\text{AB}=5:2$ という比まで読めます。

純虚数なら $\angle \text{A}$ が直角

比が純虚数になるのは偏角が $\pm \frac{\pi }{2}$ のとき。2 本の矢印が直交します。

$\alpha =0$、$\beta =2$、$\gamma =2i$ なら $\frac{2i}{2}=i$。純虚数だから $\angle \text{A}=90^{\circ }$ で、絶対値が $1$ なら $\text{AB}=\text{AC}$。直角二等辺三角形です。

比の絶対値だけを見れば辺の比、偏角だけを見れば角。条件をどちらから読むかで、判定できる形が変わります。

正三角形になる比

正三角形なら $\angle \text{A}=60^{\circ }$ で $\text{AB}=\text{AC}$。比は絶対値が $1$、偏角が $\pm \frac{\pi }{3}$ になります。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\cos \left(\pm \frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(\pm \frac{\pi }{3}\right)=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$$

この 2 つの値を $t$ とおくと、どちらも同じ二次方程式を満たします。

$$t^2-t+1=0$$

$t=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}$ が解の公式の形そのもの。判別式が $1-4=-3$ で、たしかに虚数解です。

分母を払うと対称な式になる

$t=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ を $t^2-t+1=0$ へ入れ、$(\beta -\alpha {)}^2$ をかけます。

$$(\gamma -\alpha {)}^2-(\gamma -\alpha )(\beta -\alpha )+(\beta -\alpha {)}^2=0$$

3 つの項を展開して集めます。

$$\begin{array}{rl}& {\gamma }^2-2\alpha \gamma +{\alpha }^2\\ & -(\beta \gamma -\alpha \gamma -\alpha \beta +{\alpha }^2)\\ & +{\beta }^2-2\alpha \beta +{\alpha }^2\end{array}$$

${\alpha }^2$ は $+1-1+1$ で 1 つぶん残り、$\alpha \gamma$ は $-2+1$ で $-1$ ぶん、$\alpha \beta$ は $+1-2$ で $-1$ ぶん。整理すると次の形になります。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2-\alpha \beta -\beta \gamma -\gamma \alpha =0$$

移項すれば、3 文字を入れかえても変わらない形。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$$

どの頂点を A に選んでも同じ式になるところが、正三角形という条件が頂点の順番によらないことと合っています。

例：正三角形かどうかを調べる

$\alpha =0$、$\beta =2$、$\gamma =1+\sqrt{3}i$ で試します。左辺から計算する。

$$\begin{array}{rl}{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2& =0+4+(1+2\sqrt{3}i+3i^2)\\ & =4+(-2+2\sqrt{3}i)\\ & =2+2\sqrt{3}i\end{array}$$

右辺は $\alpha \beta =0$、$\gamma \alpha =0$ となり、$\beta \gamma$ だけが残る。

$$2(1+\sqrt{3}i)=2+2\sqrt{3}i$$

一致しました。比のほうで確かめても $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ で、絶対値が $1$、偏角が $\frac{\pi }{3}$ になります。

角を求めるところまで使う

比が特別な値でなくても、絶対値と偏角を計算すれば辺の比と角が決まります。

$\alpha =1+i$、$\beta =5+2i$、$\gamma =2+4i$ とします。

$$\beta -\alpha =4+i,\gamma -\alpha =1+3i$$

$$\frac{1+3i}{4+i}=\frac{(1+3i)(4-i)}{17}=\frac{7+11i}{17}$$

絶対値は $\frac{\sqrt{49+121}}{17}=\frac{\sqrt{170}}{17}$。$\text{AB}=\sqrt{17}$、$\text{AC}=\sqrt{10}$ から $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{170}}{17}$ で、一致します。

偏角のほうは実部も虚部も正だから第 1 象限の角。$\angle \text{A}$ は鋭角だと分かります。

3 点の関係は、引き算で 2 本の矢印にして、割り算で比べる。長さの情報が絶対値に、向きの情報が偏角に分かれて入るため、1 つの値から 2 つの条件が読めます。