複素数の割り算 1 つで、三角形が直角か正三角形かが決まる

3 点 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ を頂点 A、B、C とします。この 3 点の並び方は、次の割り算 1 つに集まる。

$\frac{γ - α}{β - α}$

$β - α$ は A から B への矢印、 $γ - α$ は A から C への矢印。割り算は絶対値を割って偏角を引くため、この値の絶対値が $\frac{AC}{AB}$ 、偏角が $∠ BAC$ になります。

長さの比と角度が、1 つの複素数に同時に入っている。

実数なら一直線

比が実数になるのは偏角が $0$ か $π$ のとき。A から見て B と C が同じ向きか、真逆の向きに並びます。

$α = 1 + i$ 、 $β = 3 + 3 i$ 、 $γ = 6 + 6 i$ で確かめます。

$\frac{γ - α}{β - α} = \frac{5 + 5 i}{2 + 2 i} = \frac{5}{2}$

実数の $\frac{5}{2}$ になり、3 点は一直線上。 $AC : AB = 5 : 2$ という比まで読めます。

純虚数なら $∠ A$ が直角

比が純虚数になるのは偏角が $\pm \frac{π}{2}$ のとき。2 本の矢印が直交します。

$α = 0$ 、 $β = 2$ 、 $γ = 2 i$ なら $\frac{2 i}{2} = i$ 。純虚数だから $∠ A = 9 0^{\circ}$ で、絶対値が $1$ なら $AB = AC$ 。直角二等辺三角形です。

比が実数	3 点が一直線上
比が純虚数	$∠ A$ が直角
比が $\pm i$	$∠ A$ が直角の二等辺三角形
比の絶対値が $1$	$AB = AC$ の二等辺三角形

比の絶対値だけを見れば辺の比、偏角だけを見れば角。条件をどちらから読むかで、判定できる形が変わります。

正三角形になる比

正三角形なら $∠ A = 6 0^{\circ}$ で $AB = AC$ 。比は絶対値が $1$ 、偏角が $\pm \frac{π}{3}$ になります。

$\frac{γ - α}{β - α} = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3}) = \frac{1 \pm 3 i}{2}$

この 2 つの値を $t$ とおくと、どちらも同じ二次方程式を満たします。

$t^{2} - t + 1 = 0$

$t = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ が解の公式の形そのもの。判別式が $1 - 4 = - 3$ で、たしかに虚数解です。

分母を払うと対称な式になる

$t = \frac{γ - α}{β - α}$ を $t^{2} - t + 1 = 0$ へ入れ、 $(β - α)^{2}$ をかけます。

$(γ - α)^{2} - (γ - α) (β - α) + (β - α)^{2} = 0$

3 つの項を展開して集めます。

$γ^{2} - 2 α γ + α^{2} - (β γ - α γ - α β + α^{2}) + β^{2} - 2 α β + α^{2}$

$α^{2}$ は $+ 1 - 1 + 1$ で 1 つぶん残り、 $α γ$ は $- 2 + 1$ で $- 1$ ぶん、 $α β$ は $+ 1 - 2$ で $- 1$ ぶん。整理すると次の形になります。

$α^{2} + β^{2} + γ^{2} - α β - β γ - γ α = 0$

移項すれば、3 文字を入れかえても変わらない形。

$α^{2} + β^{2} + γ^{2} = α β + β γ + γ α$

どの頂点を A に選んでも同じ式になるところが、正三角形という条件が頂点の順番によらないことと合っています。

例：正三角形かどうかを調べる

$α = 0$ 、 $β = 2$ 、 $γ = 1 + 3 i$ で試します。左辺から計算する。

$α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 0 + 4 + (1 + 23 i + 3 i^{2}) = 4 + (- 2 + 23 i) = 2 + 23 i$

右辺は $α β = 0$ 、 $γ α = 0$ となり、 $β γ$ だけが残る。

$2 (1 + 3 i) = 2 + 23 i$

一致しました。比のほうで確かめても $\frac{1 + 3 i}{2}$ で、絶対値が $1$ 、偏角が $\frac{π}{3}$ になります。

$α = 1$ 、 $β = 4$ 、 $γ = 1 + 3 i$ のとき、三角形 ABC はどんな三角形ですか。

$∠ A$ が直角の二等辺三角形
正三角形
3 点が一直線上に並ぶ

__RESULT__

$β - α = 3$ 、 $γ - α = 3 i$ で、比は $\frac{3 i}{3} = i$ です。純虚数だから $∠ A$ は直角で、絶対値が $1$ だから $AB = AC$ になります。

角を求めるところまで使う

比が特別な値でなくても、絶対値と偏角を計算すれば辺の比と角が決まります。

$α = 1 + i$ 、 $β = 5 + 2 i$ 、 $γ = 2 + 4 i$ とします。

$β - α = 4 + i, γ - α = 1 + 3 i$

$\frac{1 + 3 i}{4 + i} = \frac{( 1 + 3 i ) ( 4 - i )}{17} = \frac{7 + 11 i}{17}$

絶対値は $\frac{49 + 121}{17} = \frac{170}{17}$ 。 $AB = 17$ 、 $AC = 10$ から $\frac{10}{17} = \frac{170}{17}$ で、一致します。

偏角のほうは実部も虚部も正だから第 1 象限の角。 $∠ A$ は鋭角だと分かります。

$\frac{γ - α}{β - α} = - 3$ のとき、3 点についていえることはどれですか。

$∠ A$ が直角
3 点が一直線上にあり、A は B と C のあいだ
正三角形

__RESULT__

比が実数だから 3 点は一直線上です。値が負ということは偏角が $π$ で、A から見て B と C が逆向き。だから A が 2 点のあいだに来ます。

3 点の関係は、引き算で 2 本の矢印にして、割り算で比べる。長さの情報が絶対値に、向きの情報が偏角に分かれて入るため、1 つの値から 2 つの条件が読めます。

3 点 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ について $\dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ を計算すると、絶対値が $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}$、偏角が $\angle\text{BAC}$ になります。実数なら 3 点が一直線上、純虚数なら $\angle\text{A}$ が直角、$\pm i$ なら直角二等辺三角形、$\dfrac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ なら正三角形。最後の値は $t^2 - t + 1 = 0$ を満たすため、分母を払うと $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$ という、頂点の順によらない形になります。