複素数と図形（三角形の形状判定）

複素数平面上の3点が作る三角形の形状を、複素数の演算で判定できる。

3点が同一直線上にある条件

3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が同一直線上にあるのは、$\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$ が実数のときである。

これは $\arg (z_3-z_1)=\arg (z_2-z_1)$ または差が $\pi$ であることを意味する。

例題1

3点 $0$, $1+i$, $2+2i$ は同一直線上にあるか。

$\frac{(2+2i)-0}{(1+i)-0}=\frac{2+2i}{1+i}=\frac{2(1+i)}{1+i}=2$

これは実数なので、3点は同一直線上にある。

直角三角形の判定

$\angle z_1$ が直角であるのは、$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}$ が純虚数のときである。

例題2

3点 $z_1=0$, $z_2=2$, $z_3=2i$ が作る三角形は直角三角形か。

$\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\frac{2}{2i}=-i$

これは純虚数なので、$\angle z_1=90°$。直角三角形である。

正三角形の判定

3点 $z_1$, $z_2$, $z_3$ が正三角形を作る条件は、

$$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1{z}_2+z_2{z}_3+z_3{z}_1$$

または、1つの頂点を中心に別の頂点を $\pm 60°$ 回転すると第3の頂点になること。

例題3

$z_1=0$, $z_2=2$, $z_3=1+\sqrt{3}i$ が正三角形を作ることを確かめよ。

$z_2$ を $z_1$ 中心に $60°$ 回転させると、

$$2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{1+\sqrt{3}i}{2}=1+\sqrt{3}i=z_3$$

よって正三角形。

二等辺三角形の判定

$|z_2-z_1|=|z_3-z_1|$ なら、$z_1$ を頂点とする二等辺三角形。

例題4

3点 $1$, $i$, $-i$ が作る三角形の形状を調べよ。

$|i-1|=|-1+i|=\sqrt{2}$, $|-i-1|=|-1-i|=\sqrt{2}$, $|-i-i|=2$

2辺が等しいので、頂点 $1$ の二等辺三角形。