階差数列と一般項の求め方

数列 ${a_{n}}$ に対して、隣り合う項の差

$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$

で定まる数列 ${b_{n}}$ を ${a_{n}}$ の階差数列という。

階差数列から一般項を求める

階差数列 ${b_{n}}$ がわかっているとき、元の数列の一般項は

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k} (n \geq 2)$

で求められる。 $a_{1}$ から $a_{n}$ に至るまでに $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ を足し合わせるからである。

$n = 1$ のときはこの式が使えないので、別途 $a_{1}$ を確認する。

数列 $2, 3, 5, 8, 12, \dots$ の一般項を求めよ。

階差数列は $1, 2, 3, 4, \dots$ なので $b_{n} = n$ 。

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 k = 2 + \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{n ^{2} - n + 4}{2}$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 2$ で成立。よって $a_{n} = \frac{n ^{2} - n + 4}{2}$ 。

数列 $1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項を求めよ。

階差数列は $1, 3, 9, 27, \dots$ なので $b_{n} = 3^{n - 1}$ 。

$a_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 3^{k - 1} = 1 + \frac{3 ^{n - 1} - 1}{3 - 1} = 1 + \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}$

$n = 1$ のとき $a_{1} = 1$ で成立。

階差数列が等差数列なら、元の数列の一般項は $n$ の2次式になる。階差数列が等比数列なら、一般項に指数関数が現れる。