並びが読めないときは差をとる｜階差数列から一般項へ

数列の並びから規則が見えないとき、まず差をとります。

$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$

こうしてできる数列 ${b_{n}}$ を、 ${a_{n}}$ の階差数列といいます。もとの数列がでこぼこでも、差はきれいに並ぶことが多い。

$2, 3, 5, 8, 12$ の差は $1, 2, 3, 4$ です。もとの並びより、差のほうがはるかに見やすくなりました。

差をとると段が下りる

差をとる操作は、多項式の次数を 1 つ下げます^[1]。2 次式の数列なら、1 回差をとると 1 次式、もう 1 回で定数になる。

2 段目で $4$ がそろいました。もとの数列が $n$ の 2 次式である、という合図です。

微分と同じ役割をしています。差をとる操作は微分、あとで出てくる和をとる操作は積分にあたる^[1]。

差から元に戻す

階差数列が分かったら、もとの数列に戻せます。 $a_{1}$ から出発して差を順に足していくだけです。

$a_{n} = a_{1} + k = 1 \sum n - 1 b_{k} (n \geq 2)$

なぜ $n - 1$ 個ぶんなのか。 $a_{1}$ から $a_{n}$ へ進むのに、 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n - 1}$ の $n - 1$ 回ぶんの差を通るからです。

書き下すと打ち消し合いが見えます^[2]^[3]。

$(a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + \dots + (a_{n} - a_{n - 1}) = a_{n} - a_{1}$

途中の項が次々に消え、両端だけが残る。この形をテレスコープといい、和の計算でくり返し使います^[4]。

$n = 1$ のときはこの式が使えません。 $\sum_{k = 1}^{0}$ という和に意味がないためです。

だから求めた式に $n = 1$ を代入して、 $a_{1}$ と一致するかを最後に確かめます。一致すれば「 $n \geq 1$ で成り立つ」と書ける。一致しなければ、 $n = 1$ の場合を別に書きます。

例題 1：差が等差数列

$2, 3, 5, 8, 12, \dots$ の一般項を求めます。

階差数列は $1, 2, 3, 4, \dots$ なので $b_{n} = n$ です。

$a_{n} = 2 + k = 1 \sum n - 1 k = 2 + \frac{( n - 1 ) n}{2} = \frac{n ^{2} - n + 4}{2}$

$n = 1$ を入れると $\frac{1 - 1 + 4}{2} = 2$ で、 $a_{1}$ と一致します。よって全部の $n$ で使えます。

念のため $n = 4$ でも検算します。 $\frac{16 - 4 + 4}{2} = 8$ となり、並びの 4 番目と合いました。

例題 2：差が等比数列

$1, 2, 5, 14, 41, \dots$ の一般項を求めます。

階差数列は $1, 3, 9, 27, \dots$ で、公比 $3$ の等比数列なので $b_{n} = 3^{n - 1}$ です。

$a_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 3^{k - 1} = 1 + \frac{3 ^{n - 1} - 1}{3 - 1} = \frac{3 ^{n - 1} + 1}{2}$

等比数列の和の公式を使いました。項数が $n - 1$ 個であることに注意します。

$n = 1$ のとき $\frac{1 + 1}{2} = 1$ で一致。 $n = 3$ でも $\frac{9 + 1}{2} = 5$ となり合っています。

例題 3：2 回差をとる

$1, 4, 11, 22, 37, \dots$ の一般項を求めます。

差は $3, 7, 11, 15$ で、そのまた差が $4, 4, 4$ 。1 段目の差が等差数列なので $b_{n} = 4 n - 1$ です。

$a_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 (4 k - 1) = 1 + 4 \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} - (n - 1)$

$= 1 + 2 n^{2} - 2 n - n + 1 = 2 n^{2} - 3 n + 2$

$n = 1$ で $2 - 3 + 2 = 1$ 、 $n = 5$ で $50 - 15 + 2 = 37$ 。どちらも合いました。

2 段目で定数がそろったことと、答えが 2 次式になったことが対応しています^[1]。

例題 4：差の形を見抜く

$3, 4, 7, 16, 43, \dots$ の一般項を求めます。

差は $1, 3, 9, 27$ で、公比 $3$ の等比数列です。 $b_{n} = 3^{n - 1}$ とすると、例題 2 と同じ手順になります。

$a_{n} = 3 + \frac{3 ^{n - 1} - 1}{2} = \frac{3 ^{n - 1} + 5}{2}$

$n = 1$ で $\frac{1 + 5}{2} = 3$ 、 $n = 4$ で $\frac{27 + 5}{2} = 16$ 。合っています。

差をとって等差か等比になれば、この方法で必ず解けます。どちらでもないときは、さらに差をとるか、別の見方を探します。

差の段数と次数の対応

何段目でそろうかで、一般項の形が決まります。

1 段目が定数	$n$ の 1 次式
2 段目が定数	$n$ の 2 次式
3 段目が定数	$n$ の 3 次式
1 段目が等比数列	指数を含む式

多項式なら、次数と同じ回数だけ差をとると定数になります^[1]。逆に言えば、何段で定数になるかを見れば、答えの形が先に分かる。

答えの形が分かっていれば、係数を未知数と置いて連立方程式で決める手もあります。

練習問題

数列 $5, 6, 9, 14, 21, \dots$ の階差数列はどれですか。

$1, 2, 3, 4, \dots$
$1, 3, 5, 7, \dots$
$2, 4, 6, 8, \dots$
$1, 4, 9, 16, \dots$

__RESULT__

隣どうしの差をとると $6 - 5 = 1$ 、 $9 - 6 = 3$ 、 $14 - 9 = 5$ 、 $21 - 14 = 7$ です。奇数が並びます。もとの数列は $n$ の 2 次式になります。

階差数列を使って一般項を求めたあと、必ず確かめることはどれですか。

第 2 項が合うかどうか
$n = 1$ を代入して初項と一致するか
階差数列の初項が $0$ かどうか
一般項が整数になるか

__RESULT__

公式が使えるのは $n \geq 2$ のときだけです。 $n = 1$ で一致すればすべての $n$ で使えると書けます。一致しないときは $n = 1$ を別扱いにします。

参考文献

Finite difference - Wikipedia

Telescoping series - Wikipedia

Teleskopsumme - Wikipedia（ドイツ語）

Oscar Levin, *Discrete Mathematics: An Open Introduction*, 2.4 Solving Recurrence Relations, University of Northern Colorado

1, 4, 11, 22, 37 のような並びは規則が見えません。ところが隣どうしの差をとると 3, 7, 11, 15 になり、もう一度とると 4 がそろいます。差をとる操作は次数を 1 つ下げるので、何段目で定数になるかで答えの形が先に分かる。差から元に戻す和の公式がなぜ n-1 個ぶんなのか、n = 1 の確認がなぜ要るのかを、4 つの例題と練習問題でたどります。