複素数を極形式に変換する

複素数 $z=a+bi$ を極形式 $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ に変換するには、絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求める。

$$r=\sqrt{a^2+b^2},\theta =\arg z$$

偏角は $a,b$ の符号から象限を判断して求める。

例題1

$1+i$ を極形式で表せ。

$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。第1象限なので $\theta =\arctan (1/1)=\frac{\pi }{4}$。

$$1+i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$$

例題2

$-1+\sqrt{3}i$ を極形式で表せ。

$r=\sqrt{1+3}=2$。第2象限（$a<0,b>0$）なので、$\theta =\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。

$$-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$$

例題3

$-3-3i$ を極形式で表せ。

$r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$。第3象限なので $\theta =-\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{3\pi }{4}$。

$$-3-3i=3\sqrt{2}\left(\cos \left(-\frac{3\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{3\pi }{4}\right)\right)$$

例題4

$2i$ を極形式で表せ。

$r=2$。正の虚軸上なので $\theta =\frac{\pi }{2}$。

$$2i=2\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$$

代表的な複素数の極形式