マイナスが前に付いた形は極形式ではない！a + bi を直す手順

$a+bi$ を $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ に直す手順は 3 段です。

$\tan \theta$ だけで決めないところが要。$\cos$ と $\sin$ の符号がそろって初めて、角が 1 つに決まります。

以下、偏角は $0\le \theta <2\pi$ でとります。

例：$\sqrt{3}+i$

$r=\sqrt{3+1}=2$。

$$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2},\sin \theta =\frac{1}{2}$$

どちらも正で第 1 象限。$\theta =\frac{\pi }{6}$ に決まる。

$$\sqrt{3}+i=2\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$$

例：$-1-i$

$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。

$$\cos \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}},\sin \theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}$$

どちらも負で第 3 象限だから、$\theta =\frac{5}{4}\pi$。

$$-1-i=\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{4}\pi +i\sin \frac{5}{4}\pi \right)$$

$\tan \theta =1$ だけを見ると $\frac{\pi }{4}$ も候補に残りますが、そちらは第 1 象限。符号が合いません。

例：$-4$

実軸の負のほうにある点。$r=4$、$\cos \theta =-1$、$\sin \theta =0$ で $\theta =\pi$。

$$-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$$

実数でも極形式に直せる。負の実数の偏角が $\pi$ になるところは、$-1$ をかけると半回転する話と重なります。

例：$5i$

$r=5$、$\cos \theta =0$、$\sin \theta =1$ で $\theta =\frac{\pi }{2}$。

$$5i=5\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$$

例：$3-3\sqrt{3}i$

$r=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$。

$$\cos \theta =\frac{3}{6}=\frac{1}{2},\sin \theta =\frac{-3\sqrt{3}}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$\cos$ が正、$\sin$ が負なので第 4 象限。$\theta =\frac{5}{3}\pi$ になります。

$$3-3\sqrt{3}i=6\left(\cos \frac{5}{3}\pi +i\sin \frac{5}{3}\pi \right)$$

有名角にならないとき

$3+4i$ なら $r=5$ で、$\cos \theta =\frac{3}{5}$、$\sin \theta =\frac{4}{5}$。この値をとる角は有名角の表にありません。

$$3+4i=5(\cos \theta +i\sin \theta )$$

$\theta$ は文字のまま置き、$\cos \theta =\frac{3}{5}$、$\sin \theta =\frac{4}{5}$ と添える。角の値を書けなくても、絶対値は $5$ と決まっています。

かけ算や累乗では角が足されるだけで、$\theta$ の中身を知らなくても計算は進む。

$r$ が負の形は極形式ではない

$-2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ は、形だけ見ると極形式に似ています。ただし前の数が負のため、絶対値として読めません。

角に $\pi$ を足すと、その符号を角のほうへ移せます。$\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$、$\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$ だからです。

$$-2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\cos \frac{4}{3}\pi +i\sin \frac{4}{3}\pi \right)$$

$a+bi$ の形で確かめると、左辺は $-2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}i$。右辺も $2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}i$ で一致します。

半回転ぶん角を進めれば、マイナスが消える。$-1$ をかけることが $\pi$ の回転だという話と同じ中身です。

$\cos -i\sin$ の形

$2\left(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}\right)$ も、そのままでは極形式ではありません。$+$ でつながっていないところが違う。

$\cos (-\theta )=\cos \theta$、$\sin (-\theta )=-\sin \theta$ を使い、角の符号を変えます。

$$2\left(\cos \frac{\pi }{4}-i\sin \frac{\pi }{4}\right)=2\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right\}$$

$0\le \theta <2\pi$ でとるなら $2\pi$ を足して $\frac{7}{4}\pi$。共役をとると偏角の符号が変わる、という見方とつながっています。

$\sin +i\cos$ の形

$\sin \theta +i\cos \theta$ は、$\cos$ と $\sin$ が入れかわっています。$\sin \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$、$\cos \theta =\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$ を当てる。

$$\sin \theta +i\cos \theta =\cos \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)+i\sin \left(\frac{\pi }{2}-\theta \right)$$

偏角は $\frac{\pi }{2}-\theta$ になります。$\theta =\frac{\pi }{6}$ で試すと左辺は $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$、右辺の角は $\frac{\pi }{3}$ で、$\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。合っています。

極形式に直すとき見るのは、絶対値が正であること、$\cos$ が先で $\sin$ があとであること、あいだが $+$ であることの 3 つ。どれかが崩れていたら、角をずらして形を整えます。