マイナスが前に付いた形は極形式ではない！a + bi を直す手順

$a + bi$ を $r (cos θ + i sin θ)$ に直す手順は 3 段です。

実部と虚部の 2 乗和の平方根から絶対値 r を計算する

cos θ = a/r と sin θ = b/r の値を読む

両方を満たす角 θ を選ぶ

$tan θ$ だけで決めないところが要。 $cos$ と $sin$ の符号がそろって初めて、角が 1 つに決まります。

以下、偏角は $0 \leq θ < 2 π$ でとります。

例： $3 + i$

$r = 3 + 1 = 2$ 。

$cos θ = \frac{3}{2}, sin θ = \frac{1}{2}$

どちらも正で第 1 象限。 $θ = \frac{π}{6}$ に決まる。

$3 + i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$

例： $- 1 - i$

$r = 1 + 1 = 2$ 。

$cos θ = - \frac{1}{2}, sin θ = - \frac{1}{2}$

どちらも負で第 3 象限だから、 $θ = \frac{5}{4} π$ 。

$- 1 - i = 2 (cos \frac{5}{4} π + i sin \frac{5}{4} π)$

$tan θ = 1$ だけを見ると $\frac{π}{4}$ も候補に残りますが、そちらは第 1 象限。符号が合いません。

例： $- 4$

実軸の負のほうにある点。 $r = 4$ 、 $cos θ = - 1$ 、 $sin θ = 0$ で $θ = π$ 。

$- 4 = 4 (cos π + i sin π)$

実数でも極形式に直せる。負の実数の偏角が $π$ になるところは、 $- 1$ をかけると半回転する話と重なります。

例： $5 i$

$r = 5$ 、 $cos θ = 0$ 、 $sin θ = 1$ で $θ = \frac{π}{2}$ 。

$5 i = 5 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2})$

例： $3 - 33 i$

$r = 9 + 27 = 36 = 6$ 。

$cos θ = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, sin θ = \frac{- 3 3}{6} = - \frac{3}{2}$

$cos$ が正、 $sin$ が負なので第 4 象限。 $θ = \frac{5}{3} π$ になります。

$3 - 33 i = 6 (cos \frac{5}{3} π + i sin \frac{5}{3} π)$

有名角にならないとき

$3 + 4 i$ なら $r = 5$ で、 $cos θ = \frac{3}{5}$ 、 $sin θ = \frac{4}{5}$ 。この値をとる角は有名角の表にありません。

$3 + 4 i = 5 (cos θ + i sin θ)$

$θ$ は文字のまま置き、 $cos θ = \frac{3}{5}$ 、 $sin θ = \frac{4}{5}$ と添える。角の値を書けなくても、絶対値は $5$ と決まっています。

かけ算や累乗では角が足されるだけで、 $θ$ の中身を知らなくても計算は進む。

$- 2 + 6 i$ の偏角はどれですか。ただし $0 \leq θ < 2 π$ とします。

$\frac{π}{3}$
$\frac{2}{3} π$
$\frac{4}{3} π$

__RESULT__

$r = 2 + 6 = 22$ で、 $cos θ = - \frac{1}{2}$ 、 $sin θ = \frac{3}{2}$ です。 $cos$ が負で $sin$ が正だから第 2 象限にあり、 $θ = \frac{2}{3} π$ になります。

$r$ が負の形は極形式ではない

$- 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ は、形だけ見ると極形式に似ています。ただし前の数が負のため、絶対値として読めません。

角に $π$ を足すと、その符号を角のほうへ移せます。 $cos (θ + π) = - cos θ$ 、 $sin (θ + π) = - sin θ$ だからです。

$- 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 2 (cos \frac{4}{3} π + i sin \frac{4}{3} π)$

$a + bi$ の形で確かめると、左辺は $- 2 (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 1 - 3 i$ 。右辺も $2 (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) = - 1 - 3 i$ で一致します。

半回転ぶん角を進めれば、マイナスが消える。 $- 1$ をかけることが $π$ の回転だという話と同じ中身です。

$cos - i sin$ の形

$2 (cos \frac{π}{4} - i sin \frac{π}{4})$ も、そのままでは極形式ではありません。 $+$ でつながっていないところが違う。

$cos (- θ) = cos θ$ 、 $sin (- θ) = - sin θ$ を使い、角の符号を変えます。

$2 (cos \frac{π}{4} - i sin \frac{π}{4}) = 2 {cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})}$

$0 \leq θ < 2 π$ でとるなら $2 π$ を足して $\frac{7}{4} π$ 。共役をとると偏角の符号が変わる、という見方とつながっています。

$sin + i cos$ の形

$sin θ + i cos θ$ は、 $cos$ と $sin$ が入れかわっています。 $sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ 、 $cos θ = sin (\frac{π}{2} - θ)$ を当てる。

$sin θ + i cos θ = cos (\frac{π}{2} - θ) + i sin (\frac{π}{2} - θ)$

偏角は $\frac{π}{2} - θ$ になります。 $θ = \frac{π}{6}$ で試すと左辺は $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 、右辺の角は $\frac{π}{3}$ で、 $cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ 。合っています。

$3 (cos \frac{π}{5} - i sin \frac{π}{5})$ を極形式の形に直すと、偏角はどれになりますか。ただし $0 \leq θ < 2 π$ とします。

$\frac{π}{5}$
$\frac{9}{5} π$
$\frac{6}{5} π$

__RESULT__

$cos$ はそのまま、 $sin$ の符号だけが逆なので、角を $- \frac{π}{5}$ とすれば $+$ でつながります。 $0$ 以上にそろえるため $2 π$ を足して $\frac{9}{5} π$ 。 $π$ を足す直し方は、前の数が負のときのものです。

極形式に直すとき見るのは、絶対値が正であること、 $cos$ が先で $sin$ があとであること、あいだが $+$ であることの 3 つ。どれかが崩れていたら、角をずらして形を整えます。

絶対値 $r = \sqrt{a^2+b^2}$ を計算し、$\cos\theta = \dfrac{a}{r}$ と $\sin\theta = \dfrac{b}{r}$ を読み、両方を満たす角を選ぶ。$\sqrt{3}+i$、$-1-i$、$-4$、$5i$、$3-3\sqrt{3}i$ を順に直します。まぎらわしいのは形が似た別物で、$-2(\cos\theta + i\sin\theta)$ は絶対値が負だから極形式ではなく、角に $\pi$ を足して直す。$\cos\theta - i\sin\theta$ は角の符号を変え、$\sin\theta + i\cos\theta$ は $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ に置きかえます。

マイナスが前に付いた形は極形式ではない！a + bi を直す手順

例：3​+i

例：−1−i

例：−4

例：5i

例：3−33​i