複素数を極形式に変換する

複素数 $z = a + bi$ を極形式 $r (cos θ + i sin θ)$ に変換するには、絶対値 $r$ と偏角 $θ$ を求める。

$r = a^{2} + b^{2}, θ = ar g z$

偏角は $a, b$ の符号から象限を判断して求める。

例題1

$1 + i$ を極形式で表せ。

$r = 1 + 1 = 2$ 。第1象限なので $θ = arctan (1/1) = \frac{π}{4}$ 。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$

$- 1 + 3 i$ を極形式で表せ。

$r = 1 + 3 = 2$ 。第2象限（ $a < 0, b > 0$ ）なので、 $θ = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ 。

$- 1 + 3 i = 2 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})$

$- 3 - 3 i$ を極形式で表せ。

$r = 9 + 9 = 32$ 。第3象限なので $θ = - π + \frac{π}{4} = - \frac{3 π}{4}$ 。

$- 3 - 3 i = 32 (cos (- \frac{3 π}{4}) + i sin (- \frac{3 π}{4}))$

$2 i$ を極形式で表せ。

$r = 2$ 。正の虚軸上なので $θ = \frac{π}{2}$ 。

$2 i = 2 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2})$