複素数平面上の軌跡（円・直線の方程式）

複素数平面上の図形を複素数の式で表す方法を見ていく。

円の方程式

中心 $\alpha$、半径 $r$ の円は

$$|z-\alpha |=r$$

と表せる。$|z-\alpha {|}^2=r^2$ として展開すると $(z-\alpha )\overline{(z-\alpha )}=r^2$、つまり $(z-\alpha )(\bar{z}-\bar{\alpha })=r^2$。

例題1

$|z-2+i|=3$ はどんな図形か。

中心 $2-i$、半径 $3$ の円。$z=x+yi$ とおくと $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$。

直線の方程式

2点 $\alpha$, $\beta$ からの距離が等しい点の軌跡（垂直二等分線）は

$$|z-\alpha |=|z-\beta |$$

一般の直線は $\bar{a}z+a\bar{z}+b=0$（$a$ は複素数、$b$ は実数）と表せる。

例題2

$|z-1|=|z+1|$ はどんな図形か。

点 $1$ と点 $-1$ からの距離が等しいので、虚軸（直線 $x=0$）。

アポロニウスの円

2点 $\alpha$, $\beta$ からの距離の比が $m:n$（$m\ne n$）である点の軌跡は

$$n|z-\alpha |=m|z-\beta |$$

で表される円（アポロニウスの円）になる。

例題3

$|z-2|=2|z+1|$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。

両辺を2乗して、$|z-2{|}^2=4|z+1{|}^2$。

$z=x+yi$ とおくと、$(x-2{)}^2+y^2=4\{(x+1{)}^2+y^2\}$。

展開して整理すると $3x^2+3y^2+12x=0$、つまり $x^2+y^2+4x=0$。

$(x+2{)}^2+y^2=4$ なので、中心 $-2$、半径 $2$ の円。

偏角条件

$\arg (z-\alpha )=\theta$ は、点 $\alpha$ から偏角 $\theta$ の方向に伸びる半直線を表す。

$$\arg \frac{z-\alpha }{z-\beta }=\theta$$

は、2点 $\alpha$, $\beta$ を見込む角が $\theta$ である点の軌跡（円弧）を表す。