距離が等しい点は直線、比が一定の点は円（複素数平面の軌跡）

$|z-\alpha |$ は点 $\alpha$ と点 $z$ の距離でした。だから $|z-\alpha |=r$ は、$\alpha$ から距離 $r$ の点をすべて集めた形になります。

$$|z-\alpha |=r⟺\text{中心 }\alpha ,\text{半径 }r\text{ の円}$$

$|z-(1+2i)|=3$ なら、中心が $1+2i$ で半径 $3$。$|z|=5$ は中心が原点で半径 $5$ の円。

距離が等しい点は直線

2 定点からの距離が等しい点を集めると、線分の垂直二等分線になる。

$$|z-\alpha |=|z-\beta |$$

$|z-i|=|z+1|$ を座標で確かめます。$z=x+yi$ とおくと、左辺は $\sqrt{x^2+(y-1{)}^2}$、右辺は $\sqrt{(x+1{)}^2+y^2}$。

両辺を $2$ 乗して展開する。

$$x^2+y^2-2y+1=x^2+2x+1+y^2$$

$x^2$ と $y^2$ と定数が消えて $-2y=2x$、つまり $y=-x$。点 $i$ と点 $-1$ を結ぶ線分の垂直二等分線です。

$z=0$ で試すと $|0-i|=1$、$|0+1|=1$。原点はこの直線の上に乗る。

比が一定の点は円

距離の比が $1$ でない一定値になる点を集めると、こんどは円になる。

$$|z-\alpha |=k|z-\beta |(k>0,k\ne 1)$$

アポロニウスの円と呼ばれる形。$k=1$ のときだけ直線になり、そこから外れると円に変わります。

例：$|z|=2|z-3|$

両辺を $2$ 乗し、$|w{|}^2=w\overline{w}$ に置きかえます。

$$z\overline{z}=4(z-3)(\overline{z}-3)$$

右辺を展開する。

$$\begin{array}{rl}z\overline{z}& =4(z\overline{z}-3z-3\overline{z}+9)\\ & =4z\overline{z}-12z-12\overline{z}+36\end{array}$$

左辺へ寄せて $3$ で割ります。

$$z\overline{z}-4z-4\overline{z}+12=0$$

$z\overline{z}-4z-4\overline{z}$ は $(z-4)(\overline{z}-4)$ から $16$ を引いた形。両辺に $16$ を足して、その形をつくります。

$$(z-4)(\overline{z}-4)=4$$

左辺は $|z-4{|}^2$。両辺の平方根をとって $|z-4|=2$ になりました。中心 $4$、半径 $2$ の円。

円の上の点で確かめる

実軸との交点は $z=2$ と $z=6$。どちらも比が $2$ になっています。

$2$ は $0$ と $3$ を $2:1$ に内分する点、$6$ は $2:1$ に外分する点。内分点と外分点を直径の両端にした円が、アポロニウスの円になります。

実軸や虚軸に平行な直線

共役を使えば、実部と虚部をそのまま条件に書ける。

$$z+\overline{z}=2a⟺\text{実部が }a$$

$$z-\overline{z}=2bi⟺\text{虚部が }b$$

実部が一定なら、実軸に垂直な直線。虚部が一定なら、実軸に平行な直線になります。

$z+\overline{z}=6$ は $x=3$ の直線。$z-\overline{z}=4i$ なら $y=2$ の直線。

円の式をほどく

$|z-\alpha |=r$ を $2$ 乗して展開すると、次の形が現れます。

$$z\overline{z}-\overline{\alpha }z-\alpha \overline{z}+|\alpha {|}^2-r^2=0$$

逆に $z\overline{z}-\overline{\gamma }z-\gamma \overline{z}+c=0$（$c$ は実数）という式を見たら、$|z-\gamma {|}^2=|\gamma {|}^2-c$ に直せます。右辺が正なら円、$0$ なら 1 点、負なら該当する点がない。

さきほどの $z\overline{z}-4z-4\overline{z}+12=0$ なら $\gamma =4$、$c=12$ で、右辺は $16-12=4$。半径 $2$ という結果と合っています。

距離をそのまま書けば円、距離が等しいと書けば直線、距離の比を書けばまた円。$|z-\alpha |$ という 1 つの形の使い方だけで、どちらも書き分けられます。