複素数平面上の2点間の距離と中点

複素数平面上の2点間の距離と中点は、複素数の演算で簡潔に表せる。

2点間の距離

点 $z_1$ と点 $z_2$ の距離は

$$|z_2-z_1|$$

で与えられる。これは $z_1$ を原点に平行移動したとき、$z_2$ が移る先の絶対値に等しい。

中点

点 $z_1$ と点 $z_2$ の中点は

$$\frac{z_1+z_2}{2}$$

である。

例題1

$z_1=1+2i$, $z_2=4+6i$ の距離と中点を求めよ。

距離：$|z_2-z_1|=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$

中点：$\frac{(1+2i)+(4+6i)}{2}=\frac{5+8i}{2}=\frac{5}{2}+4i$

例題2

$|z-(2+i)|=3$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。

これは「点 $2+i$ からの距離が3」という条件なので、中心 $2+i$、半径3の円である。

$z=x+yi$ とおくと、$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=9$。

例題3

$|z-1|=|z-i|$ を満たす点 $z$ の軌跡を求めよ。

「点1からの距離と点 $i$ からの距離が等しい」ので、2点 $1$, $i$ を結ぶ線分の垂直二等分線である。

$z=x+yi$ とおくと、$(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y-1{)}^2$。展開して整理すると $y=x$。

内分点・外分点

点 $z_1$ と点 $z_2$ を $m:n$ に内分する点は

$$\frac{n{z}_1+m{z}_2}{m+n}$$

外分する点は

$$\frac{-n{z}_1+m{z}_2}{m-n}$$

である。ベクトルの内分・外分公式と同じ形になっている。