部分空間の基底と次元を求める問題、生成系から絞り込む

基底を求める道は 2 本あります。生成系が与えられていれば余分なものを落とし、方程式で書かれていれば解いて一般形に直す^[1]。

どちらでも、出てきた本数がそのまま次元になります。基底の本数は選び方によりません。

以下 11 問。生成系から絞る形、方程式から作る形、行列の列空間と核、多項式や行列の空間まで扱います。

2 つの道

生成系から落とす場合は、列に並べて掃き出します。段ができた列に対応するもとのベクトルが基底になる^[2]。

方程式から作る場合は、自由に動ける変数を選び、それぞれを $1$ にした解を並べます。自由変数の個数が次元です。

問題 1

次のベクトルが生成する部分空間の基底と次元を求めてください。

$$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right),v_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

$v_2=2v_1$ なので、$v_2$ を落としても張る範囲は変わりません。

$v_1$ と $v_3$ は比例していないので一次独立。基底は $\{v_1,v_3\}$ で、次元は $2$ です。

問題 2

$W=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ の基底と次元を求めてください。

$z=-x-y$ と解きます。$x$ と $y$ が自由変数です。

$$(x,y,-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)$$

基底は $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$、次元は $2$。方程式が $1$ 本なので、$3-1=2$ 次元になります。

問題 3

${\mathbb{R}}^4$ で $W=\{x_1+x_2=0,x_3+x_4=0\}$ の基底を求めてください。

$x_2=-x_1$、$x_4=-x_3$ とし、$x_1$ と $x_3$ を自由変数にします。

$$(x_1,-x_1,x_3,-x_3)=x_1(1,-1,0,0)+x_3(0,0,1,-1)$$

基底は $\{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)\}$、次元は $2$。方程式が $2$ 本で $4-2=2$ です。

問題 4

次の行列の列空間の基底と次元を求めてください。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$

掃き出します。第 2 行から第 1 行の $2$ 倍を引くと $(0,0,0)$、第 3 行から第 1 行を引くと $(0,-1,-2)$。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

段ができたのは第 1 列と第 2 列。列空間の基底は、もとの $A$ の第 1 列と第 2 列です^[2]。

$$\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)\right\}$$

次元は $2$。第 3 列は第 1 列の $-1$ 倍と第 2 列の $2$ 倍の和で書けるので、落とせます。

掃き出した後の列ではなく、もとの列を答えとする点に手応えがあります。掃き出しで列空間そのものは変わってしまいます。

問題 5

同じ $A$ について、核の基底と次元を求めてください。

掃き出した形から $x_1+2x_2+3x_3=0$ と $-x_2-2x_3=0$。$x_3$ が自由変数です。

$x_2=-2x_3$、$x_1=-2(-2x_3)-3x_3=x_3$ となります。

$$\mathbf{x}=x_3(1,-2,1)$$

基底は $\{(1,-2,1)\}$ で次元は $1$。実際 $A(1,-2,1)=(1-4+3,2-8+6,1-2+1)=0$ です。

次元定理と合います。$\mathrm{rank}=2$、核の次元 $=1$ で、和が列の本数 $3$ になります。

問題 6

同じ $A$ について、行空間の基底と次元を求めてください。

行基本変形は行空間を変えません。掃き出した後の $0$ でない行が、そのまま基底になります。

$$\{(1,2,3),(0,-1,-2)\}$$

次元は $2$。列空間の次元と一致します。どちらも階数に等しいためです^[1]。

問題 7

$2$ 次以下の多項式の空間で、$W=\{p\mid p(1)=0\}$ の基底を求めてください。

$p=a+bx+c{x}^2$ とすると、条件は $a+b+c=0$。$a=-b-c$ です。

$$p=-b-c+bx+c{x}^2=b(x-1)+c(x^2-1)$$

基底は $\{x-1,x^2-1\}$ で次元は $2$。全体が $3$ 次元、条件が $1$ 本なので $3-1=2$ になります。

$x-1$ と $x^2-1$ が一次独立なのは、次数が違うから。$b(x-1)+c(x^2-1)=0$ の $x^2$ の係数から $c=0$、続いて $b=0$ が出ます。

問題 8

$2$ 次の実対称行列の全体について、基底と次元を求めてください。

対称行列は次の形に限られます。

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$$

自由に動くのは $a$、$b$、$c$ の $3$ つです。

基底は次の $3$ つ。対角を $1$ にしたもの $2$ つと、非対角を $1$ にしたもの $1$ つです。

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

次元は $3$。$2$ 次行列の全体が $4$ 次元で、$b=c$ という条件が $1$ 本入って $1$ 落ちます。

問題 9

トレースが $0$ の $2$ 次行列の全体について、基底と次元を求めてください。

$a+d=0$ なので $d=-a$。自由なのは $a$、$b$、$c$ です。

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$$

次元は $3$。トレースは線形なので、$\mathrm{tr}=0$ は $1$ 本の線形方程式にあたります。

問題 10

$W_1=\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}$、$W_2=\mathrm{span}\{(0,1,0),(0,0,1)\}$ について、共通部分と和の基底を求めてください。

共通部分は $z=0$ かつ $x=0$ を満たす部分、つまり $y$ 軸です。基底は $\{(0,1,0)\}$、次元は $1$。

和は $3$ 本の方向 $(1,0,0)$、$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ を含むので ${\mathbb{R}}^3$ 全体。次元は $3$ です。

次元の公式で確かめます。$2+2-1=3$ で一致しました。

問題 11

同じ空間の $2$ つの基底が、必ず同じ本数になることを確かめてください。

問題 2 の $W$ で、別の基底 $\{(1,-1,0),(0,1,-1)\}$ をとります。

どちらも $x+y+z=0$ を満たし、比例していないので一次独立です^[3]。$2$ 本で $W$ を張ります。

はじめの基底も $2$ 本でした。本数が一致します。基底の本数が選び方によらないので、次元が定義できます^[3]。

要点

基底は一意ではありませんが、本数はいつでも同じです。その本数を次元と呼びます。

生成系から作るときは、掃き出した後の列ではなく、もとの列を答えにします。行のほうは、掃き出した後のものをそのまま使えます。

方程式から作るときは、自由変数の個数がそのまま次元。条件が $k$ 本なら、独立している限り $n-k$ になります。

多項式や行列の空間でも手順は同じ。成分の並べ方が違うだけで、自由に動く方向を数えることに変わりはありません。

参考