部分空間の基底を求める練習

$v_2=2v_1$ なので $v_2$ は冗長である。$v_1$ と $v_3$ が一次独立かを確認する。$v_1$ と $v_3$ は明らかに平行でないので一次独立。

$\left\{0,1\right\}$（次元は 2）

$z=-x-y$ とおくと、$W$ の元は $(x,y,-x-y{)}^T=x(1,0,-1{)}^T+y(0,1,-1{)}^T$ と表せる。この2つのベクトルは一次独立である。

$\left\{0,1\right\}$（次元は 2）

$x_2=-x_1$, $x_4=-x_3$ とおくと、$W$ の元は $(x_1,-x_1,x_3,-x_3{)}^T=x_1(1,-1,0,0{)}^T+x_3(0,0,1,-1{)}^T$ である。

$\left\{0,1\right\}$（次元は 2）

$Ax=0$ を解く。掃き出しを行うと $0$ となり、$x_1+2x_2+x_3=0$。$x_2=s$, $x_3=t$ とおくと $x_1=-2s-t$。

$(x_1,x_2,x_3{)}^T=s(-2,1,0{)}^T+t(-1,0,1{)}^T$

$\left\{0,1\right\}$（次元は 2）

像空間は $A$ の列ベクトルの張る空間である。$A$ のランクを求めると 2 なので、2本の列ベクトルは一次独立。

$\left\{0,1\right\}$（次元は 2）