部分空間の基底を求めるには、生成系から一次独立なベクトルを取り出すか、方程式で定義された空間の解を求める。
問題1
次のベクトルで生成される部分空間の基底を求めよ。
v1=121,v2=242,v3=101
v2=2v1 なので v2 は冗長である。v1 と v3 が一次独立かを確認する。v1 と v3 は明らかに平行でないので一次独立。
{<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−>,<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−>}（次元は 2）
問題2
R3 の部分空間 W={(x,y,z)∣x+y+z=0} の基底を求めよ。
z=−x−y とおくと、W の元は (x,y,−x−y)T=x(1,0,−1)T+y(0,1,−1)T と表せる。この2つのベクトルは一次独立である。
{<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−>,<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−>}（次元は 2）
問題3
R4 の部分空間 W={(x1,x2,x3,x4)∣x1+x2=0,x3+x4=0} の基底を求めよ。
x2=−x1, x4=−x3 とおくと、W の元は (x1,−x1,x3,−x3)T=x1(1,−1,0,0)T+x3(0,0,1,−1)T である。
{<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−>,<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−>}（次元は 2）
問題4
行列 A=<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−> の核空間 KerA の基底を求めよ。
Ax=0 を解く。掃き出しを行うと <!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−> となり、x1+2x2+x3=0。x2=s, x3=t とおくと x1=−2s−t。
(x1,x2,x3)T=s(−2,1,0)T+t(−1,0,1)T
{<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−>,<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−>}（次元は 2）
問題5
行列 A=<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f2−−> の像空間 ImA の基底を求めよ。
像空間は A の列ベクトルの張る空間である。A のランクを求めると 2 なので、2本の列ベクトルは一次独立。
{<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f0−−>,<!−−36c958741f08406ab41e271fb5cf353f1−−>}（次元は 2）
