複素数の極形式 r(cosθ + i sinθ)

複素数を表す方法として、$a+bi$ という直交形式のほかに、絶対値と偏角を用いた極形式がある。

複素数 $z=a+bi$（$z\ne 0$）に対して、

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},\theta =\arg z$$

とおくと、$a=r\cos \theta$、$b=r\sin \theta$ が成り立つ。これを代入すると、

$$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$$

と表せる。これが複素数の極形式である。$r$ は原点からの距離（絶対値）、$\theta$ は正の実軸からの角度（偏角）を表す。

偏角の決定

偏角 $\theta =\arg z$ は $-\pi <\theta \le \pi$ の範囲で定めることが多い（主値）。ただし、$2\pi$ の整数倍の不定性がある。

$z=a+bi$ の偏角を求めるには、$\tan \theta =b/a$ だけでなく、$a$ と $b$ の符号から象限を判断する必要がある。

極形式の例

極形式は、複素数の乗除や累乗の計算で威力を発揮する。