複素数の極形式 r(cosθ + i sinθ)

複素数を表す方法として、 $a + bi$ という直交形式のほかに、絶対値と偏角を用いた極形式がある。

複素数 $z = a + bi$ （ $z \neq = 0$ ）に対して、

$r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, θ = ar g z$

とおくと、 $a = r cos θ$ 、 $b = r sin θ$ が成り立つ。これを代入すると、

$z = r (cos θ + i sin θ)$

と表せる。これが複素数の極形式である。 $r$ は原点からの距離（絶対値）、 $θ$ は正の実軸からの角度（偏角）を表す。

偏角の決定

偏角 $θ = ar g z$ は $- π < θ \leq π$ の範囲で定めることが多い（主値）。ただし、 $2 π$ の整数倍の不定性がある。

$z = a + bi$ の偏角を求めるには、 $tan θ = b / a$ だけでなく、 $a$ と $b$ の符号から象限を判断する必要がある。

極形式は、複素数の乗除や累乗の計算で威力を発揮する。