絶対値と偏角で複素数を書き直す極形式 r(cos θ + i sin θ)

$z = a + bi$ を、原点からの距離と、実軸から測った角の 2 つで書き直します。 $z \neq = 0$ として、距離を $r$ 、角を $θ$ とおく。

$a = r cos θ, b = r sin θ$

これを $a + bi$ へ入れると、 $r$ でくくれます。

$z = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ)$

この書き方が極形式です。 $r$ を $z$ の絶対値、 $θ$ を偏角といい、 $r = ∣ z ∣$ 、 $θ = ar g z$ と書く。

距離のほうは三平方の定理から

点 $(a, b)$ と原点の距離だから、 $r$ は次の形になる。

$r = a^{2} + b^{2}$

$r$ は $0$ 以上の実数で、 $r = 0$ になるのは $z = 0$ のときだけ。 $z = 0$ には向きがないため、偏角は決まりません。極形式を書くときに $z \neq = 0$ と断るのはそのためです。

偏角は 1 つに決まらない

$θ$ を $2 π$ 増やしても、点はぐるりと 1 周して同じ場所へ戻ります。だから偏角は無数にあり、 $θ + 2 nπ$ がすべて答えになる。

範囲をひとつに区切ったものを主値と呼びます。高校では $0 \leq θ < 2 π$ をとることが多く、 $- π < θ \leq π$ を使う流儀もある。問題文が範囲を指定していれば、そちらに合わせます。

偏角には $2 π$ ずらすぶんの自由があるので、 $ar g z$ は 1 つの数ではなく、 $2 π$ おきに並ぶ数の集まりを指しています。

範囲を切って 1 つに決めたものが主値。範囲の指定がない答案では、どの範囲をとったかを書き添える。

例： $1 + i$

$a = 1$ 、 $b = 1$ で $r = 1 + 1 = 2$ 。

$cos θ = \frac{1}{2}, sin θ = \frac{1}{2}$

どちらも正で、値は $\frac{1}{2}$ 。 $θ = \frac{π}{4}$ に決まる。

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$

例： $- 1 + 3 i$

$r = 1 + 3 = 2$ で、 $cos θ$ と $sin θ$ は次のとおり。

$cos θ = - \frac{1}{2}, sin θ = \frac{3}{2}$

$cos$ が負で $sin$ が正だから第 2 象限。両方を満たす角は $\frac{2}{3} π$ ただ 1 つ。

$- 1 + 3 i = 2 (cos \frac{2}{3} π + i sin \frac{2}{3} π)$

例： $- 2 i$

虚軸の上にある点。 $a = 0$ 、 $b = - 2$ で $r = 2$ 。

$cos θ = 0, sin θ = - 1$

$0 \leq θ < 2 π$ なら $θ = \frac{3}{2} π$ 、 $- π < θ \leq π$ なら $θ = - \frac{π}{2}$ 。同じ点を、どちらの範囲で呼ぶかの違いです。

$- 2 i = 2 (cos \frac{3}{2} π + i sin \frac{3}{2} π)$

tan だけで決めると 2 つの象限が残る

$tan θ = \frac{b}{a}$ から角を求めようとすると、向かい合う 2 つの象限が区別できません。 $tan$ は $π$ ごとに同じ値をくり返すため。

$1 + i$ も $- 1 - i$ も $tan θ = 1$ 。前者は $\frac{π}{4}$ 、後者は $\frac{5}{4} π$ で、 $π$ だけずれています。

$cos θ$ と $sin θ$ の符号を両方見れば、象限が 1 つに絞れる。

$cos θ > 0$ 、 $sin θ > 0$	第 1 象限
$cos θ < 0$ 、 $sin θ > 0$	第 2 象限
$cos θ < 0$ 、 $sin θ < 0$	第 3 象限
$cos θ > 0$ 、 $sin θ < 0$	第 4 象限

$- 3 + i$ の偏角として正しいものはどれですか。ただし $0 \leq θ < 2 π$ とします。

$\frac{π}{6}$
$\frac{5}{6} π$
$\frac{7}{6} π$

__RESULT__

$r = 3 + 1 = 2$ で、 $cos θ = - \frac{3}{2}$ 、 $sin θ = \frac{1}{2}$ です。 $cos$ が負で $sin$ が正だから第 2 象限にあり、 $θ = \frac{5}{6} π$ になります。 $tan θ = - \frac{1}{3}$ だけを見ると、第 4 象限の $\frac{11}{6} π$ も候補に残ってしまう。

$r$ と $θ$ から $a + bi$ に戻す

極形式のほうが与えられていれば、 $cos$ と $sin$ の値を入れれば戻せる。

$4 (cos \frac{5}{6} π + i sin \frac{5}{6} π) = 4 (- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i) = - 23 + 2 i$

$r$ が $4$ で $θ$ が $\frac{5}{6} π$ の点は、第 2 象限にある。実部が負、虚部が正という符号も合っています。

実数と純虚数の偏角

軸の上にある点は、偏角が $\frac{π}{2}$ の倍数になる。

正の実数は

θ = 0

。

負の実数は

θ = π

。

bi

で

b > 0

なら

θ = \frac{π}{2}

。

bi

で

b < 0

なら

θ = \frac{3}{2} π

。

$- 5$ を極形式にすると $5 (cos π + i sin π)$ になり、 $r$ は $5$ です。 $- 5$ の絶対値が $5$ という実数のときの話と、そのままつながります。

$z = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ を $a + bi$ の形にするとどれですか。

$\frac{3}{2} + \frac{3 3}{2} i$
$\frac{3 3}{2} + \frac{3}{2} i$
$3 + 33 i$

__RESULT__

$cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ を入れます。 $3$ をかけて $\frac{3}{2} + \frac{3 3}{2} i$ になります。 $cos$ と $sin$ の値をとり違えると 2 番目の形になる。

$a + bi$ は右へどれだけ、上へどれだけ。 $r (cos θ + i sin θ)$ はどちらへどれだけ離れているか。同じ点を、別の測り方で書いています。

$z = a + bi$ の代わりに、原点からの距離 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ と実軸から測った角 $\theta$ で書きます。$a = r\cos\theta$、$b = r\sin\theta$ を入れれば $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。角は $2\pi$ ずらしても同じ点を指すため 1 つに決まらず、$0 \leq \theta < 2\pi$ などに区切ったものを主値と呼ぶ。$\tan\theta = \dfrac{b}{a}$ だけで決めると $\pi$ ずれた角まで拾うため、$\cos$ と $\sin$ の符号を両方見ます。$1+i$、$-1+\sqrt{3}i$、$-2i$ を書き直す手順まで。

絶対値と偏角で複素数を書き直す極形式 r(cos θ + i sin θ)

距離のほうは三平方の定理から

偏角は 1 つに決まらない

例：1+i

例：−1+3​i

例：−2i