二次形式の標準化の練習

対応する行列は $A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。固有値は ${\lambda }^2-5\lambda =0$ より $\lambda =5,0$。

$\lambda =5$: $v_1=(1,2{)}^T$。$\lambda =0$: $v_2=(2,-1{)}^T$。

正規化して $P$ を作り、変数変換 $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->=P<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_2-->$ を行う。

$Q=5u^2+0\cdot v^2=5u^2$（半正定値）

$A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。固有値は $\lambda =3,1$。

$Q=3u^2+v^2$（正定値）

$A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。固有値は $\det (\lambda I-A)={\lambda }^2-4\lambda -1=0$ より $\lambda =2\pm \sqrt{5}$。

${\lambda }_1=2+\sqrt{5}>0$、${\lambda }_2=2-\sqrt{5}\approx -0.24<0$。

$Q=(2+\sqrt{5})u^2+(2-\sqrt{5})v^2$（不定値）

$A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。$\mathrm{rank}A=1$ なので固有値は $\lambda =3$（重複度1）と $\lambda =0$（重複度2）。

$Q=(x+y+z{)}^2$ と完全平方にできる。

$Q=3u^2$（半正定値）

$A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。首座小行列式を計算する。

$D_1=2>0$。$D_2=2\cdot 1-1\cdot 1=1>0$。$D_3=3\cdot D_2=3>0$。

すべての首座小行列式が正なので正定値