二次形式を平方完成で標準形にする演習と慣性法則

$Q (x, y) = x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$ から交差項を消します。 $x$ について平方完成するだけ。

$x^{2} - 4 x y + 3 y^{2} = (x - 2 y)^{2} - 4 y^{2} + 3 y^{2} = (x - 2 y)^{2} - y^{2}$

$u = x - 2 y$ 、 $v = y$ と置けば $Q = u^{2} - v^{2}$ 。固有値を求めなくても標準形になりました。

以下 11 問。平方完成でできる場合、工夫が要る場合、符号の個数が変換によらないことまで扱います。

二次形式と対称行列

$Q (x_{1}, \dots, x_{n}) = x^{T} A x$ の形に書くとき、 $A$ は対称行列にとります。交差項の係数を半分ずつ分けるのがこつです。

$Q = x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$ なら、 $- 4 x y$ を $- 2$ と $- 2$ に分けます。

$A = (1 - 2 - 2 3)$

対角成分が $2$ 乗の項の係数、非対角成分が交差項の係数の半分。ここを間違えると以降がすべてずれます。

標準形とは

変数変換 $x = P u$ （ $P$ は正則）で交差項を消し、 $2$ 乗の項だけにした形を標準形といいます。

$Q = c_{1} u_{1}^{2} + c_{2} u_{2}^{2} + \dots + c_{n} u_{n}^{2}$

やり方は 2 通り。直交行列で対角化すると係数が固有値になり、平方完成なら固有値を求めずに済みます^[1]。

係数の値は方法によって変わります。ところが、正の係数の個数、負の個数、 $0$ の個数は変わりません^[1]。

この 3 つ組を符号数と呼び、変換によらないという主張がシルベスターの慣性法則です^[1,3]。

問題 1

次を標準化してください。

$Q (x, y) = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$

平方完成すると $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = (x + 2 y)^{2}$ 。 $u = x + 2 y$ 、 $v = y$ と置けば $Q = u^{2}$ です。

対応する行列と固有値は次のとおりです。

$A = (1224), λ = 5, 0$

直交変換なら $Q = 5 u^{2}$ になります。

係数は $1$ と $5$ で違いますが、正が 1 個、 $0$ が 1 個という個数は同じ。符号数は $(1, 0, 1)$ です。

問題 2

$Q (x, y) = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$

$x$ について平方完成します。 $2 x^{2} + 2 x y = 2 (x + \frac{y}{2})^{2} - \frac{y ^{2}}{2}$ 。

$Q = 2 (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{3}{2} y^{2}$

係数がどちらも正なので正定値。符号数は $(2, 0, 0)$ です。

対応する行列の固有値は $3$ と $1$ 。直交変換なら $Q = 3 u^{2} + v^{2}$ で、こちらも正が 2 個です。

問題 3

$Q (x, y) = x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$

冒頭で見たとおり $Q = (x - 2 y)^{2} - y^{2}$ 。符号数は $(1, 1, 0)$ で不定値です。

固有多項式は $λ^{2} - 4 λ - 1 = 0$ で、 $λ = 2 \pm 5$ 。 $2 - 5 \approx - 0.24$ が負になります。

係数は $1, - 1$ と $2 + 5, 2 - 5$ で違うのに、正 1 個・負 1 個という内訳は一致しました。

問題 4

$Q (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 y z + 2 z x$

すべての交差項の係数が $2$ なので、対称行列は成分がすべて $1$ の $3$ 次行列になります。

まとめると $Q = (x + y + z)^{2}$ 。 $u = x + y + z$ と置けば $Q = u^{2}$ です。

階数が $1$ なので固有値は $3, 0, 0$ 。符号数は $(1, 0, 2)$ で半正定値になります。

問題 5

$Q (x, y, z) = 2 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} + 2 x y$

$z$ が他と混ざっていないので、 $x$ と $y$ だけを平方完成します。

$Q = 2 (x + \frac{y}{2})^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + 3 z^{2}$

係数がすべて正なので正定値。符号数は $(3, 0, 0)$ です。

首座小行列式でも確かめられます。 $D_{1} = 2$ 、 $D_{2} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1$ 、 $D_{3} = 3 \cdot 1 = 3$ で、すべて正になります^[2]。

問題 6

$Q (x, y) = x y$

$2$ 乗の項がないので、そのままでは平方完成できません。ここで変数変換をはさみます。

$x = u + v$ 、 $y = u - v$ と置きます。この変換の行列を書くと、行列式が $- 2 \neq = 0$ で正則だと分かります。

$P = (11 1 - 1)$

$Q = (u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$

符号数は $(1, 1, 0)$ 。対応する行列は非対角成分が $\frac{1}{2}$ の対称行列で、固有値は $\pm \frac{1}{2}$ です。

$2$ 乗の項がまったくないときは、この置き換えを先に入れる。手順の分かれ目になります。

問題 7

$Q (x, y, z) = x^{2} + 2 x y + y^{2} + 2 y z + z^{2}$

$x$ を含む項をまとめます。 $x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x + y)^{2}$ なので、残りは $2 y z + z^{2}$ 。

$u = x + y$ と置き、残りを $z$ について平方完成します。 $z^{2} + 2 y z = (z + y)^{2} - y^{2}$ 。

$Q = u^{2} + (y + z)^{2} - y^{2}$

$v = y + z$ 、 $w = y$ と置くと $Q = u^{2} + v^{2} - w^{2}$ 。符号数は $(2, 1, 0)$ です。

$u, v, w$ が $x, y, z$ の正則な変換になっているかを確かめます。 $u = x + y$ 、 $v = y + z$ 、 $w = y$ の係数行列は行列式が $1$ で、正則です。

問題 8

$Q (x, y, z) = x^{2} - y^{2} + 2 x z$

$x$ の項をまとめます。 $x^{2} + 2 x z = (x + z)^{2} - z^{2}$ 。

$Q = (x + z)^{2} - z^{2} - y^{2}$

符号数は $(1, 2, 0)$ で不定値。 $3$ 変数のうち $2$ 方向で値が負になります。

対応する行列の行列式は $1$ です。 $3$ 次で正の値ですが、 $(+) (-) (-)$ でも積は正になるので、行列式だけでは判定できません。

問題 9

標準形 $Q = 3 u^{2} + 2 v^{2} - w^{2}$ について、階数と符号数を答え、定値性を判定してください。

$0$ でない係数が $3$ 個なので階数は $3$ 。正が 2 個、負が 1 個で、符号数は $(2, 1, 0)$ です。

正と負の両方があるので不定値。 $w$ 方向へ動けば値が負になり、 $u$ 方向なら正になります。

正定値になるのは、符号数が $(n, 0, 0)$ のとき。半正定値は $(p, 0, r)$ の形です^[2]。

問題 10

問題 3 の $Q = x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$ を、 $x = 2 u + v$ 、 $y = u + v$ という別の変換で標準化し、符号数を確かめてください。

代入して整理します。 $x - 2 y = 2 u + v - 2 u - 2 v = - v$ 、 $y = u + v$ なので、問題 3 の結果を使えます。

$Q = (x - 2 y)^{2} - y^{2} = v^{2} - (u + v)^{2}$

展開すると $Q = v^{2} - u^{2} - 2 uv - v^{2} = - u^{2} - 2 uv$ 。交差項が残ってしまいました。

この変換では標準形になりません。ただし符号数を変える力もない。どんな正則変換を選んでも、正と負の個数は $(1, 1, 0)$ のままです^[3]。

問題 11

$Q (x, y) = 5 x^{2} + 4 x y + 5 y^{2}$ を標準化し、正定値かどうか判定してください。

平方完成します。 $5 x^{2} + 4 x y = 5 (x + \frac{2 y}{5})^{2} - \frac{4 y ^{2}}{5}$ 。

$Q = 5 (x + \frac{2}{5} y)^{2} + \frac{21}{5} y^{2}$

係数が両方とも正なので正定値。符号数は $(2, 0, 0)$ です。

固有値でも確かめられます。

$A = (5225), λ = 7, 3$

どちらも正なので、正定値という判定と合います。

平方完成

固有値を求めずに済む。係数は変換のとり方で変わる

直交変換

係数がそのまま固有値になる。固有多項式を解く手間がかかる

対称行列に直す

平方完成か直交変換で交差項を消す

係数の符号を数える

$Q = 2 u^{2} - 3 v^{2}$ と $Q = u^{2} - v^{2}$ は、同じ二次形式を別の変換で標準化したものになりえますか。

なりえる
なりえない
係数が違うので別の形

__RESULT__

符号数がどちらも $(1, 1, 0)$ で一致しています。慣性法則は係数の値ではなく、正・負・ $0$ の個数だけを保証するので、この 2 つは同じ二次形式の標準形になりえます。

平方完成が使えない場合も確かめます。

$Q (x, y, z) = x y + y z$ を平方完成するとき、最初にすることはどれですか。

$x$ について平方完成する
$x = u + v$ 、 $y = u - v$ のような置き換えを入れる
標準化できないと結論する

__RESULT__

$2$ 乗の項が 1 つもないので、そのままでは平方完成の形が作れません。正則な置き換えで $2$ 乗の項を作ってから進めます。標準形にできない二次形式はありません。

交差項を消して $2$ 乗の和にする。係数の値は道具によって変わりますが、正と負の個数だけは動きません。判定に使うのはその個数のほうです。

参考

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 7. Brown University.

Positive definite matrix. StatLect.

Markus Schweighofer. *Reelle quadratische Formen*. Lineare Algebra II, Universität Konstanz.

$x^2 - 4xy + 3y^2$ は $x$ について平方完成するだけで $(x-2y)^2 - y^2$ になります。固有値を求める必要はありません。11 問で、$2$ 変数から $3$ 変数まで、$2$ 乗の項がない $xy$ をどう扱うか、変換が正則かをどう確かめるかを追いました。平方完成と直交変換では係数が違って出ますが、正・負・$0$ の個数だけは一致する。これがシルベスターの慣性法則で、符号数が $(n,0,0)$ なら正定値という判定もここから読めます。$2u^2 - 3v^2$ と $u^2 - v^2$ が同じ二次形式の標準形になりうる理由まで。