二次形式の標準化の練習

二次形式の標準化は、適切な変数変換により交差項を消去して、平方の和の形にすることである。

問題1

次の二次形式を標準化せよ。

$Q (x, y) = x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}$

解答

対応する行列は $A = 0$ 。固有値は $λ^{2} - 5 λ = 0$ より $λ = 5, 0$ 。

$λ = 5$ : $v_{1} = (1, 2)^{T}$ 。 $λ = 0$ : $v_{2} = (2, - 1)^{T}$ 。

正規化して $P$ を作り、変数変換 $1 = P 2$ を行う。

答え

$Q = 5 u^{2} + 0 \cdot v^{2} = 5 u^{2}$ （半正定値）

次の二次形式を標準化せよ。

$Q (x, y) = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$

解答

$A = 0$ 。固有値は $λ = 3, 1$ 。

答え

$Q = 3 u^{2} + v^{2}$ （正定値）

次の二次形式を標準化し、正定値かどうか判定せよ。

$Q (x, y) = x^{2} - 4 x y + 3 y^{2}$

解答

$A = 0$ 。固有値は $det (λ I - A) = λ^{2} - 4 λ - 1 = 0$ より $λ = 2 \pm 5$ 。

$λ_{1} = 2 + 5 > 0$ 、 $λ_{2} = 2 - 5 \approx - 0.24 < 0$ 。

答え

$Q = (2 + 5) u^{2} + (2 - 5) v^{2}$ （不定値）

次の二次形式を標準化せよ。

$Q (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y + 2 yz + 2 z x$

解答

$A = 0$ 。 $rank A = 1$ なので固有値は $λ = 3$ （重複度1）と $λ = 0$ （重複度2）。

$Q = (x + y + z)^{2}$ と完全平方にできる。

答え

$Q = 3 u^{2}$ （半正定値）

次の二次形式をシルベスターの判定法で正定値かどうか判定せよ。

$Q (x, y, z) = 2 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} + 2 x y$

解答

$A = 0$ 。首座小行列式を計算する。

$D_{1} = 2 > 0$ 。 $D_{2} = 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 1 > 0$ 。 $D_{3} = 3 \cdot D_{2} = 3 > 0$ 。

答え

すべての首座小行列式が正なので正定値