二次形式を平方完成で標準形にする演習と慣性法則

$Q(x,y)=x^2-4xy+3y^2$ から交差項を消します。$x$ について平方完成するだけ。

$$x^2-4xy+3y^2=(x-2y{)}^2-4y^2+3y^2=(x-2y{)}^2-y^2$$

$u=x-2y$、$v=y$ と置けば $Q=u^2-v^2$。固有値を求めなくても標準形になりました。

以下 11 問。平方完成でできる場合、工夫が要る場合、符号の個数が変換によらないことまで扱います。

二次形式と対称行列

$Q(x_1,\dots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}$ の形に書くとき、$A$ は対称行列にとります。交差項の係数を半分ずつ分けるのがこつです。

$Q=x^2-4xy+3y^2$ なら、$-4xy$ を $-2$ と $-2$ に分けます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 3\end{array}\right)$$

対角成分が $2$ 乗の項の係数、非対角成分が交差項の係数の半分。ここを間違えると以降がすべてずれます。

標準形とは

変数変換 $\mathbf{x}=P\mathbf{u}$（$P$ は正則）で交差項を消し、$2$ 乗の項だけにした形を標準形といいます。

$$Q=c_1{u}_1^2+c_2{u}_2^2+\cdots +c_n{u}_n^2$$

やり方は 2 通り。直交行列で対角化すると係数が固有値になり、平方完成なら固有値を求めずに済みます^[1]。

係数の値は方法によって変わります。ところが、正の係数の個数、負の個数、$0$ の個数は変わりません^[1]。

この 3 つ組を符号数と呼び、変換によらないという主張がシルベスターの慣性法則です^[1,3]。

問題 1

次を標準化してください。

$$Q(x,y)=x^2+4xy+4y^2$$

平方完成すると $x^2+4xy+4y^2=(x+2y{)}^2$。$u=x+2y$、$v=y$ と置けば $Q=u^2$ です。

対応する行列と固有値は次のとおりです。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right),\lambda =5,0$$

直交変換なら $Q=5u^2$ になります。

係数は $1$ と $5$ で違いますが、正が 1 個、$0$ が 1 個という個数は同じ。符号数は $(1,0,1)$ です。

問題 2

$$Q(x,y)=2x^2+2xy+2y^2$$

$x$ について平方完成します。$2x^2+2xy=2{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2-\frac{y^2}{2}$。

$$Q=2{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}{y}^2$$

係数がどちらも正なので正定値。符号数は $(2,0,0)$ です。

対応する行列の固有値は $3$ と $1$。直交変換なら $Q=3u^2+v^2$ で、こちらも正が 2 個です。

問題 3

$$Q(x,y)=x^2-4xy+3y^2$$

冒頭で見たとおり $Q=(x-2y{)}^2-y^2$。符号数は $(1,1,0)$ で不定値です。

固有多項式は ${\lambda }^2-4\lambda -1=0$ で、$\lambda =2\pm \sqrt{5}$。$2-\sqrt{5}\approx -0.24$ が負になります。

係数は $1,-1$ と $2+\sqrt{5},2-\sqrt{5}$ で違うのに、正 1 個・負 1 個という内訳は一致しました。

問題 4

$$Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx$$

すべての交差項の係数が $2$ なので、対称行列は成分がすべて $1$ の $3$ 次行列になります。

まとめると $Q=(x+y+z{)}^2$。$u=x+y+z$ と置けば $Q=u^2$ です。

階数が $1$ なので固有値は $3,0,0$。符号数は $(1,0,2)$ で半正定値になります。

問題 5

$$Q(x,y,z)=2x^2+y^2+3z^2+2xy$$

$z$ が他と混ざっていないので、$x$ と $y$ だけを平方完成します。

$$Q=2{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}{y}^2+3z^2$$

係数がすべて正なので正定値。符号数は $(3,0,0)$ です。

首座小行列式でも確かめられます。$D_1=2$、$D_2=2\cdot 1-1\cdot 1=1$、$D_3=3\cdot 1=3$ で、すべて正になります^[2]。

問題 6

$$Q(x,y)=xy$$

$2$ 乗の項がないので、そのままでは平方完成できません。ここで変数変換をはさみます。

$x=u+v$、$y=u-v$ と置きます。この変換の行列を書くと、行列式が $-2\ne 0$ で正則だと分かります。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

$$Q=(u+v)(u-v)=u^2-v^2$$

符号数は $(1,1,0)$。対応する行列は非対角成分が $\frac{1}{2}$ の対称行列で、固有値は $\pm \frac{1}{2}$ です。

$2$ 乗の項がまったくないときは、この置き換えを先に入れる。手順の分かれ目になります。

問題 7

$$Q(x,y,z)=x^2+2xy+y^2+2yz+z^2$$

$x$ を含む項をまとめます。$x^2+2xy+y^2=(x+y{)}^2$ なので、残りは $2yz+z^2$。

$u=x+y$ と置き、残りを $z$ について平方完成します。$z^2+2yz=(z+y{)}^2-y^2$。

$$Q=u^2+(y+z{)}^2-y^2$$

$v=y+z$、$w=y$ と置くと $Q=u^2+v^2-w^2$。符号数は $(2,1,0)$ です。

$u,v,w$ が $x,y,z$ の正則な変換になっているかを確かめます。$u=x+y$、$v=y+z$、$w=y$ の係数行列は行列式が $1$ で、正則です。

問題 8

$$Q(x,y,z)=x^2-y^2+2xz$$

$x$ の項をまとめます。$x^2+2xz=(x+z{)}^2-z^2$。

$$Q=(x+z{)}^2-z^2-y^2$$

符号数は $(1,2,0)$ で不定値。$3$ 変数のうち $2$ 方向で値が負になります。

対応する行列の行列式は $1$ です。$3$ 次で正の値ですが、$(+)(-)(-)$ でも積は正になるので、行列式だけでは判定できません。

問題 9

標準形 $Q=3u^2+2v^2-w^2$ について、階数と符号数を答え、定値性を判定してください。

$0$ でない係数が $3$ 個なので階数は $3$。正が 2 個、負が 1 個で、符号数は $(2,1,0)$ です。

正と負の両方があるので不定値。$w$ 方向へ動けば値が負になり、$u$ 方向なら正になります。

正定値になるのは、符号数が $(n,0,0)$ のとき。半正定値は $(p,0,r)$ の形です^[2]。

問題 10

問題 3 の $Q=x^2-4xy+3y^2$ を、$x=2u+v$、$y=u+v$ という別の変換で標準化し、符号数を確かめてください。

代入して整理します。$x-2y=2u+v-2u-2v=-v$、$y=u+v$ なので、問題 3 の結果を使えます。

$$Q=(x-2y{)}^2-y^2=v^2-(u+v{)}^2$$

展開すると $Q=v^2-u^2-2uv-v^2=-u^2-2uv$。交差項が残ってしまいました。

この変換では標準形になりません。ただし符号数を変える力もない。どんな正則変換を選んでも、正と負の個数は $(1,1,0)$ のままです^[3]。

問題 11

$Q(x,y)=5x^2+4xy+5y^2$ を標準化し、正定値かどうか判定してください。

平方完成します。$5x^2+4xy=5{\left(x+\frac{2y}{5}\right)}^2-\frac{4y^2}{5}$。

$$Q=5{\left(x+\frac{2}{5}y\right)}^2+\frac{21}{5}{y}^2$$

係数が両方とも正なので正定値。符号数は $(2,0,0)$ です。

固有値でも確かめられます。

$$A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 5\end{array}\right),\lambda =7,3$$

どちらも正なので、正定値という判定と合います。

平方完成が使えない場合も確かめます。

交差項を消して $2$ 乗の和にする。係数の値は道具によって変わりますが、正と負の個数だけは動きません。判定に使うのはその個数のほうです。

参考