なぜ虚数解はいつも 2 つ組で現れるのか？共役複素数の性質

$z = a + bi$ の虚部の符号だけを変えた数を $\overline{z}$ と書き、 $z$ の共役複素数といいます。

$\overline{a + bi} = a - bi$

$\overline{3 + 2 i} = 3 - 2 i$ 、 $\overline{- 5 i} = 5 i$ 、 $\overline{7} = 7$ 。実数はもとのまま動きません。

足しても、かけても実数になる

$z$ と $\overline{z}$ を足すと虚部が打ち消し合い、かけると $i^{2}$ が実部へ回る。

$z + \overline{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2 a$

$z \overline{z} = (a + bi) (a - bi) = a^{2} - (bi)^{2} = a^{2} + b^{2}$

どちらも実数。 $a$ と $b$ が実数である以上、 $a^{2} + b^{2}$ は $0$ 以上になる。

引いたときだけ虚部が残ります。

$z - \overline{z} = 2 bi$

$2 bi$ は $b \neq = 0$ なら純虚数。この 3 つが、共役をどこで使うかを決めています。

実数か純虚数かを見分ける

$z - \overline{z} = 2 bi$ が $0$ になるのは $b = 0$ のとき、つまり $z$ が実数のとき。

$z = \overline{z} ⟺ z は実数$

$z + \overline{z} = 2 a$ が $0$ になるのは $a = 0$ のときなので、 $z \neq = 0$ とあわせると純虚数の条件になります。

$z = - \overline{z} ⟺ z は純虚数 (z \neq = 0)$

$z \neq = 0$ の断りがいるのは、 $z = 0$ が $z = - \overline{z}$ を満たしてしまうため。 $0$ は実数のほうに入ります。

z = \overline{z}

虚部が $0$ 。 $z$ は実数

z = - \overline{z}

実部が $0$ 。 $z \neq = 0$ なら純虚数

演算をまたいでも形が変わらない

共役をとる操作は、四則のどちら側でやっても結果が変わらない。

\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}

。

\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}

。

\overline{z w} = \overline{z} \cdot \overline{w}

。

\overline{(\frac{z}{w})} = \frac{z}{w}

。

積のところだけ確かめます。 $z = a + bi$ 、 $w = c + d i$ として、先にかけてから共役をとる。

$\overline{z w} = \overline{(a c - b d) + (a d + b c) i} = (a c - b d) - (a d + b c) i$

こんどは先に共役をとってからかける。

$\overline{z} \cdot \overline{w} = (a - bi) (c - d i) = a c - a d i - b c i + b d i^{2} = (a c - b d) - (a d + b c) i$

同じ式になりました。積を繰り返せば $\overline{z^{n}} = (\overline{z})^{n}$ も同じ理由で成り立ちます。

例： $\overline{(2 + 3 i) (1 - i)}$ を 2 通りで

先にかけてから、虚部の符号を変える。

$(2 + 3 i) (1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^{2} = 5 + i$

共役は $5 - i$ です。順序を入れかえて、共役どうしをかけても同じ。

$(2 - 3 i) (1 + i) = 2 + 2 i - 3 i - 3 i^{2} = 5 - i$

どちらの道を通っても $5 - i$ に着く。

$z = 3 - 4 i$ のとき $z \overline{z}$ はどれですか。

$- 7$
$25$
$9 + 16 i$

__RESULT__

$z \overline{z} = (3 - 4 i) (3 + 4 i) = 9 - 16 i^{2} = 9 + 16 = 25$ です。 $i^{2}$ の符号を落として $9 - 16 = - 7$ とすると、実数にはなっても値が合いません。

実数係数の方程式では虚数解が組になる

係数がすべて実数の方程式 $P (x) = 0$ が $x = z$ を解に持つなら、 $x = \overline{z}$ も解になる。

$P (z) = 0$ の両辺の共役をとると、右辺は $\overline{0} = 0$ 。左辺は共役が四則をまたいで形を変えないため、 $x^{2}$ の項なら $\overline{a z^{2}} = \overline{a} \cdot \overline{z}^{2}$ となり、 $a$ が実数だから $\overline{a} = a$ に戻ります。

$\overline{P (z)} = P (\overline{z}) = 0$

係数が実数であることが、ここで効いている。係数に $i$ が混じっていると $\overline{a} \neq = a$ になり、この話は通りません。

例： $x^{2} - 4 x + 13 = 0$

解の公式にかけると、根号の中が $16 - 52 = - 36$ になります。

$x = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$

$2 + 3 i$ と $2 - 3 i$ が組で現れました。和は $4$ 、積は $(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 4 + 9 = 13$ で、どちらも実数。解と係数の関係が実数のまま合います。

例：3 次方程式で残りの解を決める

$x^{3} - 5 x^{2} + 17 x - 13 = 0$ が $x = 2 + 3 i$ を解に持つとします。係数はすべて実数なので、 $2 - 3 i$ も解。

3 次方程式の解は 3 つで、残る 1 つを $r$ とおきます。解の和は $x^{2}$ の係数から $5$ と決まっている。

$(2 + 3 i) + (2 - 3 i) + r = 5$

虚部が打ち消し合って $4 + r = 5$ 、つまり $r = 1$ 。もとの式に $x = 1$ を入れると $1 - 5 + 17 - 13 = 0$ で、たしかに解になっています。

虚数解を 1 つ見つけた時点で 2 つ決まるため、3 次方程式なら残りは 1 つ。実数解が少なくとも 1 つあることも、ここから分かります。

実数係数の 4 次方程式が $1 + i$ を解に持つとき、必ず解になるものはどれですか。

$- 1 - i$
$1 - i$
$- 1 + i$

__RESULT__

共役は虚部の符号だけを変えた $1 - i$ です。実部の符号まで変えた $- 1 + i$ や、両方変えた $- 1 - i$ は共役ではありません。

虚部の符号を変えるだけの操作が、和と積を実数へ落とし、実数係数の方程式の解を 2 つずつの組に縛っています。

$z = a + bi$ の虚部の符号だけを変えた $\overline{z} = a - bi$ が共役複素数。足すと $2a$、かけると $a^2 + b^2$ になり、どちらも実数へ落ちます。$z = \overline{z}$ なら実数、$z = -\overline{z}$ なら純虚数。共役をとる操作は和差積商のどちら側で行っても結果が変わらないため、実数係数の方程式が $z$ を解に持てば $\overline{z}$ も解になる。$x^3 - 5x^2 + 17x - 13 = 0$ の残り 1 つを解の和だけで決めるところまで扱いました。