共役複素数の定義と性質

複素数 $z = a + bi$ に対して、虚部の符号を反転させた $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ を $z$ の共役複素数という。 $\overset{z}{ˉ}$ は $z^{*}$ や $z^{*}$ とも書かれる。

基本性質

共役複素数には次の性質がある。

\overline{\overset{z}{ˉ}} = z

（共役の共役は元に戻る）

z + \overset{z}{ˉ} = 2 a

（実部の2倍、実数）

z - \overset{z}{ˉ} = 2 bi

（虚部の2倍、純虚数）

z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}

（絶対値の2乗、実数）

z

が実数

\Leftrightarrow

z = \overset{z}{ˉ}

z

が純虚数

\Leftrightarrow

z = - \overset{z}{ˉ}

（

z \neq = 0

）

特に $z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}$ という関係は、除法や絶対値の計算で頻繁に用いられる。

共役をとる操作は、四則演算と交換できる。

$\overline{z_{1} + z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} + \overset{z_{2}}{ˉ}$

$\overline{z_{1} - z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} - \overset{z_{2}}{ˉ}$

$\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \cdot \overset{z_{2}}{ˉ}$

$\overline{(\frac{z _{1}}{z _{2}})} = \frac{z _{1} ˉ}{z _{2} ˉ}$

これらの性質から、 $\overline{z^{n}} = \overset{z}{ˉ}^{n}$ も成り立つ。

複素数平面において、 $z$ と $\overset{z}{ˉ}$ は実軸に関して対称な位置にある。 $z = a + bi$ が点 $(a, b)$ に対応するとき、 $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ は点 $(a, - b)$ に対応する。