共役複素数の定義と性質

複素数 $z=a+bi$ に対して、虚部の符号を反転させた $\bar{z}=a-bi$ を $z$ の共役複素数という。$\bar{z}$ は $z^{\ast }$ や $z^{\ast }$ とも書かれる。

基本性質

共役複素数には次の性質がある。

特に $z\bar{z}=|z{|}^2$ という関係は、除法や絶対値の計算で頻繁に用いられる。

演算との関係

共役をとる操作は、四則演算と交換できる。

$$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$$

$$\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$$

$$\overline{z_1{z}_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$$

$$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$$

これらの性質から、$\overline{z^n}={\bar{z}}^n$ も成り立つ。

複素数平面での意味

複素数平面において、$z$ と $\bar{z}$ は実軸に関して対称な位置にある。$z=a+bi$ が点 $(a,b)$ に対応するとき、$\bar{z}=a-bi$ は点 $(a,-b)$ に対応する。