特異値分解の計算練習

特異値分解は $A = U Σ V^{T}$ の形で、 $A^{T} A$ と $A A^{T}$ の固有値問題に帰着して計算する。

問題1

次の行列の特異値を求めよ。

$A = (3002)$

解答

$A^{T} A = 0$ 。固有値は 9 と 4。特異値はその平方根。

答え

$σ_{1} = 3$ , $σ_{2} = 2$

次の行列の特異値分解を求めよ。

$A = 100020$

解答

$A^{T} A = 0$ 。固有値は 4 と 1。 $σ_{1} = 2$ , $σ_{2} = 1$ 。

$V$ は $A^{T} A$ の固有ベクトル。 $λ = 4$ : $(0, 1)^{T}$ 、 $λ = 1$ : $(1, 0)^{T}$ 。 $V = 1$ 。

$U$ の列は $u_{i} = A v_{i} / σ_{i}$ 。 $u_{1} = A (0, 1)^{T} /2 = (0, 1, 0)^{T}$ 、 $u_{2} = A (1, 0)^{T} /1 = (1, 0, 0)^{T}$ 。 $u_{3} = (0, 0, 1)^{T}$ 。

答え

$U = 0$ , $Σ = 1$ , $V = 2$

次の行列の特異値を求めよ。

$B = 110101$

解答

$B^{T} B = 0$ 。固有方程式 $λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$ より $λ = 3, 1$ 。

答え

$σ_{1} = 3$ , $σ_{2} = 1$

次の行列の特異値分解を求めよ。

$C = (11 1 - 1)$

解答

$C^{T} C = 0 = 2 I$ 。固有値はともに 2。 $σ_{1} = σ_{2} = 2$ 。

$V$ は任意の直交行列でよい。 $V = I$ ととれば、 $U = C V Σ^{- 1} = \frac{1}{2} C$ 。

$C$ は既に直交行列を $2$ 倍したものなので $U = \frac{1}{2} 1$ 。

答え

$σ_{1} = σ_{2} = 2$ 、 $C = U Σ V^{T}$ で $Σ = 2 I$

$2 \times 3$ 行列 $D = 4$ の特異値を求めよ。

解答

$D D^{T} = 0$ 。固有値は $λ = 3, 1$ 。

答え

$σ_{1} = 3$ , $σ_{2} = 1$