特異値分解の計算練習

$A^{T}A=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->$。固有値は 9 と 4。特異値はその平方根。

${\sigma }_1=3$, ${\sigma }_2=2$

$A^{T}A=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->$。固有値は 4 と 1。${\sigma }_1=2$, ${\sigma }_2=1$。

$V$ は $A^{T}A$ の固有ベクトル。$\lambda =4$: $(0,1{)}^T$、$\lambda =1$: $(1,0{)}^T$。$V=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_1-->$。

$U$ の列は $u_i=A{v}_i/{\sigma }_i$。$u_1=A(0,1{)}^T/2=(0,1,0{)}^T$、$u_2=A(1,0{)}^T/1=(1,0,0{)}^T$。$u_3=(0,0,1{)}^T$。

$U=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->$, $\Sigma =<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_1-->$, $V=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_2-->$

$B^{T}B=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->$。固有方程式 ${\lambda }^2-4\lambda +3=0$ より $\lambda =3,1$。

${\sigma }_1=\sqrt{3}$, ${\sigma }_2=1$

$C^{T}C=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->=2I$。固有値はともに 2。${\sigma }_1={\sigma }_2=\sqrt{2}$。

$V$ は任意の直交行列でよい。$V=I$ ととれば、$U=CV{\Sigma }^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}C$。

$C$ は既に直交行列を $\sqrt{2}$ 倍したものなので $U=\frac{1}{\sqrt{2}}<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_1-->$。

${\sigma }_1={\sigma }_2=\sqrt{2}$、$C=U\Sigma V^T$ で $\Sigma =\sqrt{2}I$

$D{D}^T=<!--36c958741f08406ab41e271fb5cf353f_0-->$。固有値は $\lambda =3,1$。

${\sigma }_1=\sqrt{3}$, ${\sigma }_2=1$