行列の指数関数を求める練習

対角行列の場合、各対角成分に $e$ を適用する。

$e^A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$。

$e^A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$

$A^2=O$ なので、$e^{tA}=I+tA+\frac{(tA{)}^2}{2!}+\cdots =I+tA$。

$e^{tA}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->+t<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_2-->$。

$e^{tA}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$

$A^2=-I$ なので、$A^3=-A$, $A^4=I$, … と周期的。

$e^{tA}=I+tA+\frac{t^2}{2!}{A}^2+\frac{t^3}{3!}{A}^3+\cdots =I\left(1-\frac{t^2}{2!}+\cdots \right)+A\left(t-\frac{t^3}{3!}+\cdots \right)$

$=I\cos t+A\sin t=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$。

$e^{tA}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$

$A=I+N$ と分解する。$N=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$, $N^2=O$。

$I$ と $N$ は可換なので $e^A=e^I{e}^N=eI\cdot (I+N)=e(I+N)$。

$e^A=e<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_2-->$。

$e^A=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$

固有値は $\lambda =2,3$。対角化して $A=PD{P}^{-1}$, $e^{tA}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$。

$P=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$, $D=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$, $P^{-1}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_2-->$。

$e^{tA}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_3--><!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_4--><!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_5-->$。

$e^{tA}=<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$