行列の指数関数を求める練習

行列の指数関数 $e^{A}$ はべき級数で定義されるが、対角化やジョルダン標準形を用いて計算できる。

問題1

次の行列の $e^{A}$ を求めよ。

$A = (1002)$

解答

対角行列の場合、各対角成分に $e$ を適用する。

$e^{A} = 0 = 1$ 。

答え

$e^{A} = 0$

問題2

次の行列の $e^{t A}$ を求めよ。

$A = (0010)$

解答

$A^{2} = O$ なので、 $e^{t A} = I + t A + \frac{( t A ) ^{2}}{2 !} + \dots = I + t A$ 。

$e^{t A} = 0 + t 1 = 2$ 。

答え

$e^{t A} = 0$

問題3

次の行列の $e^{t A}$ を求めよ。

$A = (01 - 1 0)$

解答

$A^{2} = - I$ なので、 $A^{3} = - A$ , $A^{4} = I$ , … と周期的。

$e^{t A} = I + t A + \frac{t ^{2}}{2 !} A^{2} + \frac{t ^{3}}{3 !} A^{3} + \dots = I (1 - \frac{t ^{2}}{2 !} + \dots) + A (t - \frac{t ^{3}}{3 !} + \dots)$

$= I cos t + A sin t = 0$ 。

答え

$e^{t A} = 0$

問題4

次の行列の $e^{A}$ を求めよ。

$A = (1011)$

解答

$A = I + N$ と分解する。 $N = 0$ , $N^{2} = O$ 。

$I$ と $N$ は可換なので $e^{A} = e^{I} e^{N} = e I \cdot (I + N) = e (I + N)$ 。

$e^{A} = e 1 = 2$ 。

答え

$e^{A} = 0$

問題5

次の行列の $e^{t A}$ を求めよ。

$A = (2013)$

解答

固有値は $λ = 2, 3$ 。対角化して $A = P D P^{- 1}$ , $e^{t A} = P e^{t D} P^{- 1}$ 。

$P = 0$ , $D = 1$ , $P^{- 1} = 2$ 。

$e^{t A} = 345$ 。

答え

$e^{t A} = 0$