行列の指数関数を求める練習

対角行列の場合、各対角成分に $e$ を適用する。

$e^A=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->$。

$e^A=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$

$A^2=O$ なので、$e^{tA}=I+tA+\frac{(tA{)}^2}{2!}+\cdots =I+tA$。

$e^{tA}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->+t<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_2-->$。

$e^{tA}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$

$A^2=-I$ なので、$A^3=-A$, $A^4=I$, … と周期的。

$e^{tA}=I+tA+\frac{t^2}{2!}{A}^2+\frac{t^3}{3!}{A}^3+\cdots =I\left(1-\frac{t^2}{2!}+\cdots \right)+A\left(t-\frac{t^3}{3!}+\cdots \right)$

$=I\cos t+A\sin t=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$。

$e^{tA}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$

$A=I+N$ と分解する。$N=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$, $N^2=O$。

$I$ と $N$ は可換なので $e^A=e^I{e}^N=eI\cdot (I+N)=e(I+N)$。

$e^A=e<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_2-->$。

$e^A=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$

固有値は $\lambda =2,3$。対角化して $A=PD{P}^{-1}$, $e^{tA}=P{e}^{tD}{P}^{-1}$。

$P=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$, $D=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->$, $P^{-1}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_2-->$。

$e^{tA}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_3--><!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_4--><!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_5-->$。

$e^{tA}=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$