基底の変換行列を求める練習

基底の変換行列は、新しい基底の各ベクトルを古い基底で表したときの係数を列に並べた行列である。

問題1

$R^{2}$ で標準基底 $B = {e_{1}, e_{2}}$ から $B^{'} = {v_{1}, v_{2}}$ への変換行列を求めよ。

$v_{1} = (11), v_{2} = (1 - 1)$

解答

$v_{1} = 1 \cdot e_{1} + 1 \cdot e_{2}$ 、 $v_{2} = 1 \cdot e_{1} + (- 1) \cdot e_{2}$ だから、 $v_{1}, v_{2}$ の標準基底に関する座標をそのまま列に並べればよい。

答え

$P = 0$

問題1の設定で、ベクトル $w = 1$ の $B^{'}$ に関する座標を求めよ。

解答

$[w]_{B^{'}} = P^{- 1} [w]_{B}$ である。 $P^{- 1} = \frac{1}{- 2} 0 = 1$

$[w]_{B^{'}} = 23 = 4$

答え

$[w]_{B^{'}} = 0$ （つまり $w = 2 v_{1} + v_{2}$ ）

$R^{3}$ で基底 $B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ （標準基底）から $B^{'} = {u_{1}, u_{2}, u_{3}}$ への変換行列を求めよ。

$u_{1} = 100, u_{2} = 110, u_{3} = 111$

解答

各 $u_{i}$ を列に並べる。

答え

$P = 0$

$R^{2}$ の2つの基底 $B = {v_{1}, v_{2}}$ 、 $B^{'} = {w_{1}, w_{2}}$ について、 $B$ から $B^{'}$ への変換行列を求めよ。

$v_{1} = (10), v_{2} = (01), w_{1} = (21), w_{2} = (11)$

解答

$B$ は標準基底なので、 $w_{1}, w_{2}$ の座標をそのまま並べた $Q = 0$ が $B$ から $B^{'}$ への変換行列となる。つまり $[x]_{B} = Q [x]_{B^{'}}$ が成り立つ。

答え

$P = 0$

線形写像 $T : R^{2} \to R^{2}$ が標準基底に関して行列 $A = 4$ で表されるとき、基底 $B^{'} = {5, 6}$ に関する表現行列を求めよ。

解答

変換行列は $P = 0$ 。 $B^{'}$ に関する表現行列は $A^{'} = P^{- 1} A P$ である。 $P^{- 1} = 1$ なので

$A^{'} = 234 = 56 = 7$

答え

$A^{'} = 0$